Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20868 / 3972
↖ ↑ ↗
← N 79.424309°
E 49.262695°		 ← 224.21 m → N 79.424309°
E 49.273682°		 →
↑
224.26 m
↓
↑
224.26 m
↓
N 79.422292°
E 49.262695°		 ← 224.25 m →
50 287 m²		 N 79.422292°
E 49.273682°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20868 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3972 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.636856079101562 y=0.121231079101562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.636856079101562 × 215)
    floor (0.636856079101562 × 32768)
    floor (20868.5)     		tx = 20868
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.121231079101562 × 215)
    floor (0.121231079101562 × 32768)
    floor (3972.5)     		ty = 3972
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20868 / 3972 ti = "15/20868/3972"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20868/3972.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20868 ÷ 215
    20868 ÷ 32768     		x = 0.6368408203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3972 ÷ 215
    3972 ÷ 32768     		y = 0.1212158203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6368408203125 × 2 - 1) × π
    0.273681640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.85979623
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1212158203125 × 2 - 1) × π
    0.757568359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.37997119233655
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.85979623} λ = 0.85979623}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.37997119233655))-π/2
    2×atan(10.8045916044093)-π/2
    2×1.47850600659664-π/2
    2.95701201319328-1.57079632675     		φ = 1.38621569
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.85979623} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.262695°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38621569 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.424309°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20868 KachelY 3972 0.85979623 1.38621569 49.262695 79.424309
    Oben rechts KachelX + 1 20869 KachelY 3972 0.85998798 1.38621569 49.273682 79.424309
    Unten links KachelX 20868 KachelY + 1 3973 0.85979623 1.38618049 49.262695 79.422292
    Unten rechts KachelX + 1 20869 KachelY + 1 3973 0.85998798 1.38618049 49.273682 79.422292
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38621569-1.38618049) × R
    3.5199999999902e-05 × 6371000     		dl = 224.259199999375m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38621569-1.38618049) × R
    3.5199999999902e-05 × 6371000     		dr = 224.259199999375m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.85979623-0.85998798) × cos(1.38621569) × R
    0.000191749999999935 × 0.183534310068723 × 6371000     		do = 224.212716901546m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.85979623-0.85998798) × cos(1.38618049) × R
    0.000191749999999935 × 0.183568912023334 × 6371000     		du = 224.254988007426m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38621569)-sin(1.38618049))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.183534310068723-0.183568912023334)×R²
    abs(0.85998798-0.85979623)×3.4601954611635e-05×R²
    0.000191749999999935×3.4601954611635e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.4601954611635e-05×40589641000000     		ar = 50286.5043699306m²