Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 2089 / 2087
↖ ↑ ↗
← S  3.425692°
E  3.603515°		 ← 9 755.52 m → S  3.425692°
E  3.691406°		 →
↑
9 755.08 m
↓
↑
9 755.08 m
↓
S  3.513421°
E  3.603515°		 ← 9 754.62 m →
95 161 554 m²		 S  3.513421°
E  3.691406°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2089 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2087 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5101318359375 y=0.5096435546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5101318359375 × 212)
    floor (0.5101318359375 × 4096)
    floor (2089.5)     		tx = 2089
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.5096435546875 × 212)
    floor (0.5096435546875 × 4096)
    floor (2087.5)     		ty = 2087
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2089 / 2087 ti = "12/2089/2087"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2089/2087.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2089 ÷ 212
    2089 ÷ 4096     		x = 0.510009765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2087 ÷ 212
    2087 ÷ 4096     		y = 0.509521484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.510009765625 × 2 - 1) × π
    0.02001953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.06289321
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.509521484375 × 2 - 1) × π
    -0.01904296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.0598252507258301
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.06289321} λ = 0.06289321}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0598252507258301))-π/2
    2×atan(0.941929120633246)-π/2
    2×0.755503365268922-π/2
    1.51100673053784-1.57079632675     		φ = -0.05978960
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.06289321} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.603515°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.05978960 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -3.425692°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2089 KachelY 2087 0.06289321 -0.05978960 3.603515 -3.425692
    Oben rechts KachelX + 1 2090 KachelY 2087 0.06442719 -0.05978960 3.691406 -3.425692
    Unten links KachelX 2089 KachelY + 1 2088 0.06289321 -0.06132077 3.603515 -3.513421
    Unten rechts KachelX + 1 2090 KachelY + 1 2088 0.06442719 -0.06132077 3.691406 -3.513421
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.05978960--0.06132077) × R
    0.00153117 × 6371000     		dl = 9755.08406999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.05978960--0.06132077) × R
    0.00153117 × 6371000     		dr = 9755.08406999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.06289321-0.06442719) × cos(-0.05978960) × R
    0.00153397999999999 × 0.998213134267824 × 6371000     		do = 9755.52356517912m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.06289321-0.06442719) × cos(-0.06132077) × R
    0.00153397999999999 × 0.998120470650342 × 6371000     		du = 9754.61796488901m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.05978960)-sin(-0.06132077))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998213134267824-0.998120470650342)×R²
    abs(0.06442719-0.06289321)×9.26636174821693e-05×R²
    0.00153397999999999×9.26636174821693e-05×6371000²
    0.00153397999999999×9.26636174821693e-05×40589641000000     		ar = 95161554.0137496m²