Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20976 / 4656
↖ ↑ ↗
← N 77.952414°
E 50.449219°		 ← 254.99 m → N 77.952414°
E 50.460205°		 →
↑
254.97 m
↓
↑
254.97 m
↓
N 77.950121°
E 50.449219°		 ← 255.03 m →
65 019 m²		 N 77.950121°
E 50.460205°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20976 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4656 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.640151977539062 y=0.142105102539062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.640151977539062 × 215)
    floor (0.640151977539062 × 32768)
    floor (20976.5)     		tx = 20976
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.142105102539062 × 215)
    floor (0.142105102539062 × 32768)
    floor (4656.5)     		ty = 4656
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20976 / 4656 ti = "15/20976/4656"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20976/4656.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20976 ÷ 215
    20976 ÷ 32768     		x = 0.64013671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4656 ÷ 215
    4656 ÷ 32768     		y = 0.14208984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.64013671875 × 2 - 1) × π
    0.2802734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.88050497
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14208984375 × 2 - 1) × π
    0.7158203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.24881583497607
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.88050497} λ = 0.88050497}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.24881583497607))-π/2
    2×atan(9.47650744087355)-π/2
    2×1.4656613041458-π/2
    2.9313226082916-1.57079632675     		φ = 1.36052628
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.88050497} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.449219°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36052628 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.952414°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20976 KachelY 4656 0.88050497 1.36052628 50.449219 77.952414
    Oben rechts KachelX + 1 20977 KachelY 4656 0.88069672 1.36052628 50.460205 77.952414
    Unten links KachelX 20976 KachelY + 1 4657 0.88050497 1.36048626 50.449219 77.950121
    Unten rechts KachelX + 1 20977 KachelY + 1 4657 0.88069672 1.36048626 50.460205 77.950121
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36052628-1.36048626) × R
    4.00199999999185e-05 × 6371000     		dl = 254.96741999948m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36052628-1.36048626) × R
    4.00199999999185e-05 × 6371000     		dr = 254.96741999948m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.88050497-0.88069672) × cos(1.36052628) × R
    0.000191749999999935 × 0.208724006355723 × 6371000     		do = 254.985438581315m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.88050497-0.88069672) × cos(1.36048626) × R
    0.000191749999999935 × 0.208763144731464 × 6371000     		du = 255.0332515573m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36052628)-sin(1.36048626))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.208724006355723-0.208763144731464)×R²
    abs(0.88069672-0.88050497)×3.91383757403774e-05×R²
    0.000191749999999935×3.91383757403774e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.91383757403774e-05×40589641000000     		ar = 65019.0747966011m²