Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20991 / 3585
↖ ↑ ↗
← N 80.176839°
E 50.614014°		 ← 208.41 m → N 80.176839°
E 50.625000°		 →
↑
208.46 m
↓
↑
208.46 m
↓
N 80.174965°
E 50.614014°		 ← 208.45 m →
43 449 m²		 N 80.174965°
E 50.625000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20991 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3585 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.640609741210938 y=0.109420776367188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.640609741210938 × 215)
    floor (0.640609741210938 × 32768)
    floor (20991.5)     		tx = 20991
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.109420776367188 × 215)
    floor (0.109420776367188 × 32768)
    floor (3585.5)     		ty = 3585
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20991 / 3585 ti = "15/20991/3585"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20991/3585.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20991 ÷ 215
    20991 ÷ 32768     		x = 0.640594482421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3585 ÷ 215
    3585 ÷ 32768     		y = 0.109405517578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.640594482421875 × 2 - 1) × π
    0.28118896484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.88338119
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.109405517578125 × 2 - 1) × π
    0.78118896484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.45417751294839
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.88338119} λ = 0.88338119}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.45417751294839))-π/2
    2×atan(11.6368584463269)-π/2
    2×1.48507307837819-π/2
    2.97014615675638-1.57079632675     		φ = 1.39934983
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.88338119} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.614014°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39934983 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.176839°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20991 KachelY 3585 0.88338119 1.39934983 50.614014 80.176839
    Oben rechts KachelX + 1 20992 KachelY 3585 0.88357293 1.39934983 50.625000 80.176839
    Unten links KachelX 20991 KachelY + 1 3586 0.88338119 1.39931711 50.614014 80.174965
    Unten rechts KachelX + 1 20992 KachelY + 1 3586 0.88357293 1.39931711 50.625000 80.174965
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39934983-1.39931711) × R
    3.27200000000971e-05 × 6371000     		dl = 208.459120000619m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39934983-1.39931711) × R
    3.27200000000971e-05 × 6371000     		dr = 208.459120000619m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.88338119-0.88357293) × cos(1.39934983) × R
    0.000191739999999996 × 0.170607816781706 × 6371000     		do = 208.410335913329m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.88338119-0.88357293) × cos(1.39931711) × R
    0.000191739999999996 × 0.170640056982918 × 6371000     		du = 208.449719754534m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39934983)-sin(1.39931711))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.170607816781706-0.170640056982918)×R²
    abs(0.88357293-0.88338119)×3.22402012118694e-05×R²
    0.000191739999999996×3.22402012118694e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.22402012118694e-05×40589641000000     		ar = 43449.1401872876m²