Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20991 / 4609
↖ ↑ ↗
← N 78.059716°
E 50.614014°		 ← 252.73 m → N 78.059716°
E 50.625000°		 →
↑
252.74 m
↓
↑
252.74 m
↓
N 78.057443°
E 50.614014°		 ← 252.78 m →
63 881 m²		 N 78.057443°
E 50.625000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20991 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4609 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.640609741210938 y=0.140670776367188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.640609741210938 × 215)
    floor (0.640609741210938 × 32768)
    floor (20991.5)     		tx = 20991
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.140670776367188 × 215)
    floor (0.140670776367188 × 32768)
    floor (4609.5)     		ty = 4609
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20991 / 4609 ti = "15/20991/4609"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20991/4609.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20991 ÷ 215
    20991 ÷ 32768     		x = 0.640594482421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4609 ÷ 215
    4609 ÷ 32768     		y = 0.140655517578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.640594482421875 × 2 - 1) × π
    0.28118896484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.88338119
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.140655517578125 × 2 - 1) × π
    0.71868896484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.25782797210465
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.88338119} λ = 0.88338119}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.25782797210465))-π/2
    2×atan(9.56229701850777)-π/2
    2×1.46659769570073-π/2
    2.93319539140147-1.57079632675     		φ = 1.36239906
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.88338119} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.614014°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36239906 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.059716°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20991 KachelY 4609 0.88338119 1.36239906 50.614014 78.059716
    Oben rechts KachelX + 1 20992 KachelY 4609 0.88357293 1.36239906 50.625000 78.059716
    Unten links KachelX 20991 KachelY + 1 4610 0.88338119 1.36235939 50.614014 78.057443
    Unten rechts KachelX + 1 20992 KachelY + 1 4610 0.88357293 1.36235939 50.625000 78.057443
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36239906-1.36235939) × R
    3.96700000000472e-05 × 6371000     		dl = 252.737570000301m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36239906-1.36235939) × R
    3.96700000000472e-05 × 6371000     		dr = 252.737570000301m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.88338119-0.88357293) × cos(1.36239906) × R
    0.000191739999999996 × 0.206892110153535 × 6371000     		do = 252.734341182539m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.88338119-0.88357293) × cos(1.36235939) × R
    0.000191739999999996 × 0.20693092168125 × 6371000     		du = 252.781752395465m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36239906)-sin(1.36235939))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.206892110153535-0.20693092168125)×R²
    abs(0.88357293-0.88338119)×3.88115277147605e-05×R²
    0.000191739999999996×3.88115277147605e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.88115277147605e-05×40589641000000     		ar = 63881.4545515301m²