Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20991 / 4611
↖ ↑ ↗
← N 78.055170°
E 50.614014°		 ← 252.83 m → N 78.055170°
E 50.625000°		 →
↑
252.86 m
↓
↑
252.86 m
↓
N 78.052896°
E 50.614014°		 ← 252.88 m →
63 938 m²		 N 78.052896°
E 50.625000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20991 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4611 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.640609741210938 y=0.140731811523438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.640609741210938 × 215)
    floor (0.640609741210938 × 32768)
    floor (20991.5)     		tx = 20991
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.140731811523438 × 215)
    floor (0.140731811523438 × 32768)
    floor (4611.5)     		ty = 4611
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20991 / 4611 ti = "15/20991/4611"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20991/4611.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20991 ÷ 215
    20991 ÷ 32768     		x = 0.640594482421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4611 ÷ 215
    4611 ÷ 32768     		y = 0.140716552734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.640594482421875 × 2 - 1) × π
    0.28118896484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.88338119
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.140716552734375 × 2 - 1) × π
    0.71856689453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.25744447690768
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.88338119} λ = 0.88338119}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.25744447690768))-π/2
    2×atan(9.55863062659604)-π/2
    2×1.46655801719319-π/2
    2.93311603438639-1.57079632675     		φ = 1.36231971
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.88338119} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.614014°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36231971 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.055170°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20991 KachelY 4611 0.88338119 1.36231971 50.614014 78.055170
    Oben rechts KachelX + 1 20992 KachelY 4611 0.88357293 1.36231971 50.625000 78.055170
    Unten links KachelX 20991 KachelY + 1 4612 0.88338119 1.36228002 50.614014 78.052896
    Unten rechts KachelX + 1 20992 KachelY + 1 4612 0.88357293 1.36228002 50.625000 78.052896
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36231971-1.36228002) × R
    3.96899999999256e-05 × 6371000     		dl = 252.864989999526m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36231971-1.36228002) × R
    3.96899999999256e-05 × 6371000     		dr = 252.864989999526m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.88338119-0.88357293) × cos(1.36231971) × R
    0.000191739999999996 × 0.206969742666789 × 6371000     		do = 252.829175161838m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.88338119-0.88357293) × cos(1.36228002) × R
    0.000191739999999996 × 0.207008573109845 × 6371000     		du = 252.876609481283m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36231971)-sin(1.36228002))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.206969742666789-0.207008573109845)×R²
    abs(0.88357293-0.88338119)×3.88304430559705e-05×R²
    0.000191739999999996×3.88304430559705e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.88304430559705e-05×40589641000000     		ar = 63937.6440966949m²