Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 20992 / 29184
↖ ↑ ↗
← S 80.178713°
E 50.625000°		 ← 208.38 m → S 80.178713°
E 50.635986°		 →
↑
208.33 m
↓
↑
208.33 m
↓
S 80.180587°
E 50.625000°		 ← 208.34 m →
43 408 m²		 S 80.180587°
E 50.635986°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20992 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29184 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.640640258789062 y=0.890640258789062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.640640258789062 × 215)
    floor (0.640640258789062 × 32768)
    floor (20992.5)     		tx = 20992
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.890640258789062 × 215)
    floor (0.890640258789062 × 32768)
    floor (29184.5)     		ty = 29184
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20992 / 29184 ti = "15/20992/29184"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20992/29184.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20992 ÷ 215
    20992 ÷ 32768     		x = 0.640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29184 ÷ 215
    29184 ÷ 32768     		y = 0.890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.640625 × 2 - 1) × π
    0.28125 × 3.1415926535     		Λ = 0.88357293
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.890625 × 2 - 1) × π
    -0.78125 × 3.1415926535     		Φ = -2.45436926054687
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.88357293} λ = 0.88357293}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.45436926054687))-π/2
    2×atan(0.0859173698292689)-π/2
    2×0.085706893142233-π/2
    0.171413786284466-1.57079632675     		φ = -1.39938254
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.88357293} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.625000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39938254 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.178713°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20992 KachelY 29184 0.88357293 -1.39938254 50.625000 -80.178713
    Oben rechts KachelX + 1 20993 KachelY 29184 0.88376468 -1.39938254 50.635986 -80.178713
    Unten links KachelX 20992 KachelY + 1 29185 0.88357293 -1.39941524 50.625000 -80.180587
    Unten rechts KachelX + 1 20993 KachelY + 1 29185 0.88376468 -1.39941524 50.635986 -80.180587
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39938254--1.39941524) × R
    3.26999999999966e-05 × 6371000     		dl = 208.331699999978m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39938254--1.39941524) × R
    3.26999999999966e-05 × 6371000     		dr = 208.331699999978m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.88357293-0.88376468) × cos(-1.39938254) × R
    0.000191749999999935 × 0.170575586251288 × 6371000     		do = 208.381831256263m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.88357293-0.88376468) × cos(-1.39941524) × R
    0.000191749999999935 × 0.170543365391865 × 6371000     		du = 208.342468989723m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39938254)-sin(-1.39941524))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.170575586251288-0.170543365391865)×R²
    abs(0.88376468-0.88357293)×3.22208594229212e-05×R²
    0.000191749999999935×3.22208594229212e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.22208594229212e-05×40589641000000     		ar = 43408.4409553165m²