Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20993 / 29183
↖ ↑ ↗
← S 80.176839°
E 50.635986°		 ← 208.42 m → S 80.176839°
E 50.646973°		 →
↑
208.40 m
↓
↑
208.40 m
↓
S 80.178713°
E 50.635986°		 ← 208.38 m →
43 430 m²		 S 80.178713°
E 50.646973°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20993 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29183 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.640670776367188 y=0.890609741210938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.640670776367188 × 215)
    floor (0.640670776367188 × 32768)
    floor (20993.5)     		tx = 20993
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.890609741210938 × 215)
    floor (0.890609741210938 × 32768)
    floor (29183.5)     		ty = 29183
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20993 / 29183 ti = "15/20993/29183"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20993/29183.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20993 ÷ 215
    20993 ÷ 32768     		x = 0.640655517578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29183 ÷ 215
    29183 ÷ 32768     		y = 0.890594482421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.640655517578125 × 2 - 1) × π
    0.28131103515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.88376468
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.890594482421875 × 2 - 1) × π
    -0.78118896484375 × 3.1415926535     		Φ = -2.45417751294839
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.88376468} λ = 0.88376468}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.45417751294839))-π/2
    2×atan(0.0859338458581704)-π/2
    2×0.0857232484167067-π/2
    0.171446496833413-1.57079632675     		φ = -1.39934983
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.88376468} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.635986°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39934983 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.176839°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20993 KachelY 29183 0.88376468 -1.39934983 50.635986 -80.176839
    Oben rechts KachelX + 1 20994 KachelY 29183 0.88395643 -1.39934983 50.646973 -80.176839
    Unten links KachelX 20993 KachelY + 1 29184 0.88376468 -1.39938254 50.635986 -80.178713
    Unten rechts KachelX + 1 20994 KachelY + 1 29184 0.88395643 -1.39938254 50.646973 -80.178713
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39934983--1.39938254) × R
    3.27099999999358e-05 × 6371000     		dl = 208.395409999591m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39934983--1.39938254) × R
    3.27099999999358e-05 × 6371000     		dr = 208.395409999591m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.88376468-0.88395643) × cos(-1.39934983) × R
    0.000191750000000046 × 0.170607816781706 × 6371000     		do = 208.421205337391m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.88376468-0.88395643) × cos(-1.39938254) × R
    0.000191750000000046 × 0.170575586251288 × 6371000     		du = 208.381831256383m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39934983)-sin(-1.39938254))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.170607816781706-0.170575586251288)×R²
    abs(0.88395643-0.88376468)×3.22305304182313e-05×R²
    0.000191750000000046×3.22305304182313e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.22305304182313e-05×40589641000000     		ar = 43429.9198538498m²