Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20994 / 4610
↖ ↑ ↗
← N 78.057443°
E 50.646973°		 ← 252.79 m → N 78.057443°
E 50.657959°		 →
↑
252.80 m
↓
↑
252.80 m
↓
N 78.055170°
E 50.646973°		 ← 252.84 m →
63 913 m²		 N 78.055170°
E 50.657959°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20994 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4610 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.640701293945312 y=0.140701293945312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.640701293945312 × 215)
    floor (0.640701293945312 × 32768)
    floor (20994.5)     		tx = 20994
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.140701293945312 × 215)
    floor (0.140701293945312 × 32768)
    floor (4610.5)     		ty = 4610
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20994 / 4610 ti = "15/20994/4610"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20994/4610.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20994 ÷ 215
    20994 ÷ 32768     		x = 0.64068603515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4610 ÷ 215
    4610 ÷ 32768     		y = 0.14068603515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.64068603515625 × 2 - 1) × π
    0.2813720703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.88395643
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14068603515625 × 2 - 1) × π
    0.7186279296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.25763622450616
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.88395643} λ = 0.88395643}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.25763622450616))-π/2
    2×atan(9.56046364679644)-π/2
    2×1.46657785830786-π/2
    2.93315571661572-1.57079632675     		φ = 1.36235939
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.88395643} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.646973°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36235939 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.057443°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20994 KachelY 4610 0.88395643 1.36235939 50.646973 78.057443
    Oben rechts KachelX + 1 20995 KachelY 4610 0.88414818 1.36235939 50.657959 78.057443
    Unten links KachelX 20994 KachelY + 1 4611 0.88395643 1.36231971 50.646973 78.055170
    Unten rechts KachelX + 1 20995 KachelY + 1 4611 0.88414818 1.36231971 50.657959 78.055170
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36235939-1.36231971) × R
    3.96799999999864e-05 × 6371000     		dl = 252.801279999913m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36235939-1.36231971) × R
    3.96799999999864e-05 × 6371000     		dr = 252.801279999913m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.88395643-0.88414818) × cos(1.36235939) × R
    0.000191749999999935 × 0.20693092168125 × 6371000     		do = 252.794935964405m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.88395643-0.88414818) × cos(1.36231971) × R
    0.000191749999999935 × 0.206969742666789 × 6371000     		du = 252.842361204063m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36235939)-sin(1.36231971))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.20693092168125-0.206969742666789)×R²
    abs(0.88414818-0.88395643)×3.88209855390897e-05×R²
    0.000191749999999935×3.88209855390897e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.88209855390897e-05×40589641000000     		ar = 63912.8779784528m²