Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20996 / 4620
↖ ↑ ↗
← N 78.034688°
E 50.668945°		 ← 253.27 m → N 78.034688°
E 50.679932°		 →
↑
253.25 m
↓
↑
253.25 m
↓
N 78.032410°
E 50.668945°		 ← 253.32 m →
64 146 m²		 N 78.032410°
E 50.679932°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20996 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4620 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.640762329101562 y=0.141006469726562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.640762329101562 × 215)
    floor (0.640762329101562 × 32768)
    floor (20996.5)     		tx = 20996
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.141006469726562 × 215)
    floor (0.141006469726562 × 32768)
    floor (4620.5)     		ty = 4620
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20996 / 4620 ti = "15/20996/4620"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20996/4620.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20996 ÷ 215
    20996 ÷ 32768     		x = 0.6407470703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4620 ÷ 215
    4620 ÷ 32768     		y = 0.1409912109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6407470703125 × 2 - 1) × π
    0.281494140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.88433992
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1409912109375 × 2 - 1) × π
    0.718017578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.25571874852136
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.88433992} λ = 0.88433992}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.25571874852136))-π/2
    2×atan(9.54214925166795)-π/2
    2×1.46637927957052-π/2
    2.93275855914104-1.57079632675     		φ = 1.36196223
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.88433992} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.668945°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36196223 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.034688°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20996 KachelY 4620 0.88433992 1.36196223 50.668945 78.034688
    Oben rechts KachelX + 1 20997 KachelY 4620 0.88453167 1.36196223 50.679932 78.034688
    Unten links KachelX 20996 KachelY + 1 4621 0.88433992 1.36192248 50.668945 78.032410
    Unten rechts KachelX + 1 20997 KachelY + 1 4621 0.88453167 1.36192248 50.679932 78.032410
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36196223-1.36192248) × R
    3.97500000000051e-05 × 6371000     		dl = 253.247250000032m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36196223-1.36192248) × R
    3.97500000000051e-05 × 6371000     		dr = 253.247250000032m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.88433992-0.88453167) × cos(1.36196223) × R
    0.000191750000000046 × 0.207319469043359 × 6371000     		do = 253.269600672589m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.88433992-0.88453167) × cos(1.36192248) × R
    0.000191750000000046 × 0.207358355242997 × 6371000     		du = 253.317105580349m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36196223)-sin(1.36192248))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.207319469043359-0.207358355242997)×R²
    abs(0.88453167-0.88433992)×3.88861996374334e-05×R²
    0.000191750000000046×3.88861996374334e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.88861996374334e-05×40589641000000     		ar = 64145.8451306278m²