Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 20997 / 4613
↖ ↑ ↗
← N 78.050621°
E 50.679932°		 ← 252.94 m → N 78.050621°
E 50.690918°		 →
↑
252.93 m
↓
↑
252.93 m
↓
N 78.048346°
E 50.679932°		 ← 252.98 m →
63 981 m²		 N 78.048346°
E 50.690918°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20997 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4613 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.640792846679688 y=0.140792846679688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.640792846679688 × 215)
    floor (0.640792846679688 × 32768)
    floor (20997.5)     		tx = 20997
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.140792846679688 × 215)
    floor (0.140792846679688 × 32768)
    floor (4613.5)     		ty = 4613
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20997 / 4613 ti = "15/20997/4613"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20997/4613.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20997 ÷ 215
    20997 ÷ 32768     		x = 0.640777587890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4613 ÷ 215
    4613 ÷ 32768     		y = 0.140777587890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.640777587890625 × 2 - 1) × π
    0.28155517578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.88453167
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.140777587890625 × 2 - 1) × π
    0.71844482421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.25706098171072
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.88453167} λ = 0.88453167}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.25706098171072))-π/2
    2×atan(9.55496564045843)-π/2
    2×1.46651832379582-π/2
    2.93303664759165-1.57079632675     		φ = 1.36224032
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.88453167} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.679932°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36224032 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.050621°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20997 KachelY 4613 0.88453167 1.36224032 50.679932 78.050621
    Oben rechts KachelX + 1 20998 KachelY 4613 0.88472342 1.36224032 50.690918 78.050621
    Unten links KachelX 20997 KachelY + 1 4614 0.88453167 1.36220062 50.679932 78.048346
    Unten rechts KachelX + 1 20998 KachelY + 1 4614 0.88472342 1.36220062 50.690918 78.048346
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36224032-1.36220062) × R
    3.96999999998648e-05 × 6371000     		dl = 252.928699999139m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36224032-1.36220062) × R
    3.96999999998648e-05 × 6371000     		dr = 252.928699999139m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.88453167-0.88472342) × cos(1.36224032) × R
    0.000191750000000046 × 0.20704741301011 × 6371000     		do = 252.937246344172m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.88453167-0.88472342) × cos(1.36220062) × R
    0.000191750000000046 × 0.20708625258405 × 6371000     		du = 252.98469429215m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36224032)-sin(1.36220062))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.20704741301011-0.20708625258405)×R²
    abs(0.88472342-0.88453167)×3.88395739398806e-05×R²
    0.000191750000000046×3.88395739398806e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.88395739398806e-05×40589641000000     		ar = 63981.08938157m²