Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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5 / 21 / 29
↖ ↑ ↗
← S 81.093214°
E 56.250000°		 ← 193.680 km → S 81.093214°
E 67.500000°		 →
↑
176.030 km
↓
↑
176.030 km
↓
S 82.676285°
E 56.250000°		 ← 159.464 km →
31 083.9 km²		 S 82.676285°
E 67.500000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 5 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.671875 y=0.921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=5 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.671875 × 25)
    floor (0.671875 × 32)
    floor (21.5)     		tx = 21
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.921875 × 25)
    floor (0.921875 × 32)
    floor (29.5)     		ty = 29
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 5 / 21 / 29 ti = "5/21/29"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/5/21/29.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21 ÷ 25
    21 ÷ 32     		x = 0.65625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29 ÷ 25
    29 ÷ 32     		y = 0.90625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.65625 × 2 - 1) × π
    0.3125 × 3.1415926535     		Λ = 0.98174770
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.90625 × 2 - 1) × π
    -0.8125 × 3.1415926535     		Φ = -2.55254403096875
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.98174770} λ = 0.98174770}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.55254403096875))-π/2
    2×atan(0.0778832762865433)-π/2
    2×0.0777263720271503-π/2
    0.155452744054301-1.57079632675     		φ = -1.41534358
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.98174770} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 56.250000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41534358 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.093214°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21 KachelY 29 0.98174770 -1.41534358 56.250000 -81.093214
    Oben rechts KachelX + 1 22 KachelY 29 1.17809725 -1.41534358 67.500000 -81.093214
    Unten links KachelX 21 KachelY + 1 30 0.98174770 -1.44297339 56.250000 -82.676285
    Unten rechts KachelX + 1 22 KachelY + 1 30 1.17809725 -1.44297339 67.500000 -82.676285
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41534358--1.44297339) × R
    0.0276298099999999 × 6371000     		dl = 176029.519509999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41534358--1.44297339) × R
    0.0276298099999999 × 6371000     		dr = 176029.519509999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.98174770-1.17809725) × cos(-1.41534358) × R
    0.19634955 × 0.154827402507351 × 6371000     		do = 193680.252750428m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.98174770-1.17809725) × cos(-1.44297339) × R
    0.19634955 × 0.127475144203388 × 6371000     		du = 159464.137154516m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41534358)-sin(-1.44297339))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.154827402507351-0.127475144203388)×R²
    abs(1.17809725-0.98174770)×0.0273522583039621×R²
    0.19634955×0.0273522583039621×6371000²
    0.19634955×0.0273522583039621×40589641000000     		ar = 31083896131.9084m²