Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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5 / 21 / 5
↖ ↑ ↗
← N 76.840817°
E 56.250000°		 ← 284.786 km → N 76.840817°
E 67.500000°		 →
↑
313.711 km
↓
↑
313.711 km
↓
N 74.019543°
E 56.250000°		 ← 344.396 km →
98 710.8 km²		 N 74.019543°
E 67.500000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 5 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.671875 y=0.171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=5 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.671875 × 25)
    floor (0.671875 × 32)
    floor (21.5)     		tx = 21
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.171875 × 25)
    floor (0.171875 × 32)
    floor (5.5)     		ty = 5
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 5 / 21 / 5 ti = "5/21/5"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/5/21/5.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21 ÷ 25
    21 ÷ 32     		x = 0.65625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5 ÷ 25
    5 ÷ 32     		y = 0.15625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.65625 × 2 - 1) × π
    0.3125 × 3.1415926535     		Λ = 0.98174770
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15625 × 2 - 1) × π
    0.6875 × 3.1415926535     		Φ = 2.15984494928125
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.98174770} λ = 0.98174770}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.15984494928125))-π/2
    2×atan(8.66979329656196)-π/2
    2×1.45596078656658-π/2
    2.91192157313317-1.57079632675     		φ = 1.34112525
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.98174770} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 56.250000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34112525 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.840817°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21 KachelY 5 0.98174770 1.34112525 56.250000 76.840817
    Oben rechts KachelX + 1 22 KachelY 5 1.17809725 1.34112525 67.500000 76.840817
    Unten links KachelX 21 KachelY + 1 6 0.98174770 1.29188474 56.250000 74.019543
    Unten rechts KachelX + 1 22 KachelY + 1 6 1.17809725 1.29188474 67.500000 74.019543
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34112525-1.29188474) × R
    0.04924051 × 6371000     		dl = 313711.28921m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34112525-1.29188474) × R
    0.04924051 × 6371000     		dr = 313711.28921m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.98174770-1.17809725) × cos(1.34112525) × R
    0.19634955 × 0.227657249737119 × 6371000     		do = 284786.23909911m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.98174770-1.17809725) × cos(1.29188474) × R
    0.19634955 × 0.275309459649329 × 6371000     		du = 344396.436715616m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34112525)-sin(1.29188474))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.227657249737119-0.275309459649329)×R²
    abs(1.17809725-0.98174770)×0.0476522099122109×R²
    0.19634955×0.0476522099122109×6371000²
    0.19634955×0.0476522099122109×40589641000000     		ar = 98710799741.2141m²