Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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5 / 21 / 7
↖ ↑ ↗
← N 70.612614°
E 56.250000°		 ← 415.255 km → N 70.612614°
E 67.500000°		 →
↑
455.827 km
↓
↑
455.827 km
↓
N 66.513260°
E 56.250000°		 ← 498.547 km →
208 357 km²		 N 66.513260°
E 67.500000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 5 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.671875 y=0.234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=5 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.671875 × 25)
    floor (0.671875 × 32)
    floor (21.5)     		tx = 21
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.234375 × 25)
    floor (0.234375 × 32)
    floor (7.5)     		ty = 7
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 5 / 21 / 7 ti = "5/21/7"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/5/21/7.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21 ÷ 25
    21 ÷ 32     		x = 0.65625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7 ÷ 25
    7 ÷ 32     		y = 0.21875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.65625 × 2 - 1) × π
    0.3125 × 3.1415926535     		Λ = 0.98174770
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.21875 × 2 - 1) × π
    0.5625 × 3.1415926535     		Φ = 1.76714586759375
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.98174770} λ = 0.98174770}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.76714586759375))-π/2
    2×atan(5.85412105801472)-π/2
    2×1.4016094693361-π/2
    2.80321893867219-1.57079632675     		φ = 1.23242261
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.98174770} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 56.250000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23242261 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.612614°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21 KachelY 7 0.98174770 1.23242261 56.250000 70.612614
    Oben rechts KachelX + 1 22 KachelY 7 1.17809725 1.23242261 67.500000 70.612614
    Unten links KachelX 21 KachelY + 1 8 0.98174770 1.16087539 56.250000 66.513260
    Unten rechts KachelX + 1 22 KachelY + 1 8 1.17809725 1.16087539 67.500000 66.513260
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23242261-1.16087539) × R
    0.07154722 × 6371000     		dl = 455827.33862m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23242261-1.16087539) × R
    0.07154722 × 6371000     		dr = 455827.33862m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.98174770-1.17809725) × cos(1.23242261) × R
    0.19634955 × 0.331953465734817 × 6371000     		do = 415254.858660097m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.98174770-1.17809725) × cos(1.16087539) × R
    0.19634955 × 0.398536816226928 × 6371000     		du = 498546.833746163m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23242261)-sin(1.16087539))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.331953465734817-0.398536816226928)×R²
    abs(1.17809725-0.98174770)×0.0665833504921113×R²
    0.19634955×0.0665833504921113×6371000²
    0.19634955×0.0665833504921113×40589641000000     		ar = 208356785935.708m²