Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
8 / 210 / 18
↖ ↑ ↗
← N 82.308893°
E115.312500°		 ← 20.927 km → N 82.308893°
E116.718750°		 →
↑
21.184 km
↓
↑
21.184 km
↓
N 82.118384°
E115.312500°		 ← 21.442 km →
448.768 km²		 N 82.118384°
E116.718750°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 8 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 210 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.822265625 y=0.072265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=8 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.822265625 × 28)
    floor (0.822265625 × 256)
    floor (210.5)     		tx = 210
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.072265625 × 28)
    floor (0.072265625 × 256)
    floor (18.5)     		ty = 18
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 8 / 210 / 18 ti = "8/210/18"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/8/210/18.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 210 ÷ 28
    210 ÷ 256     		x = 0.8203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18 ÷ 28
    18 ÷ 256     		y = 0.0703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8203125 × 2 - 1) × π
    0.640625 × 3.1415926535     		Λ = 2.01258279
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0703125 × 2 - 1) × π
    0.859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.69980618660156
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01258279} λ = 2.01258279}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.69980618660156))-π/2
    2×atan(14.8768481129497)-π/2
    2×1.50367875244878-π/2
    3.00735750489756-1.57079632675     		φ = 1.43656118
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01258279} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.312500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43656118 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.308893°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 210 KachelY 18 2.01258279 1.43656118 115.312500 82.308893
    Oben rechts KachelX + 1 211 KachelY 18 2.03712649 1.43656118 116.718750 82.308893
    Unten links KachelX 210 KachelY + 1 19 2.01258279 1.43323617 115.312500 82.118384
    Unten rechts KachelX + 1 211 KachelY + 1 19 2.03712649 1.43323617 116.718750 82.118384
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43656118-1.43323617) × R
    0.00332500999999996 × 6371000     		dl = 21183.6387099998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43656118-1.43323617) × R
    0.00332500999999996 × 6371000     		dr = 21183.6387099998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01258279-2.03712649) × cos(1.43656118) × R
    0.0245436999999997 × 0.133832377654437 × 6371000     		do = 20927.0895455023m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01258279-2.03712649) × cos(1.43323617) × R
    0.0245436999999997 × 0.137126729932919 × 6371000     		du = 21442.2205349869m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43656118)-sin(1.43323617))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.133832377654437-0.137126729932919)×R²
    abs(2.03712649-2.01258279)×0.00329435227848143×R²
    0.0245436999999997×0.00329435227848143×6371000²
    0.0245436999999997×0.00329435227848143×40589641000000     		ar = 448768492.022459m²