Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 21000 / 29192
↖ ↑ ↗
← S 80.193694°
E 50.712890°		 ← 208.07 m → S 80.193694°
E 50.723877°		 →
↑
208.08 m
↓
↑
208.08 m
↓
S 80.195565°
E 50.712890°		 ← 208.03 m →
43 290 m²		 S 80.195565°
E 50.723877°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21000 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29192 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.640884399414062 y=0.890884399414062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.640884399414062 × 215)
    floor (0.640884399414062 × 32768)
    floor (21000.5)     		tx = 21000
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.890884399414062 × 215)
    floor (0.890884399414062 × 32768)
    floor (29192.5)     		ty = 29192
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 21000 / 29192 ti = "15/21000/29192"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/21000/29192.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21000 ÷ 215
    21000 ÷ 32768     		x = 0.640869140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29192 ÷ 215
    29192 ÷ 32768     		y = 0.890869140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.640869140625 × 2 - 1) × π
    0.28173828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.88510691
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.890869140625 × 2 - 1) × π
    -0.78173828125 × 3.1415926535     		Φ = -2.45590324133472
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.88510691} λ = 0.88510691}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.45590324133472))-π/2
    2×atan(0.0857856752688958)-π/2
    2×0.0855761621328464-π/2
    0.171152324265693-1.57079632675     		φ = -1.39964400
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.88510691} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.712890°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39964400 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.193694°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21000 KachelY 29192 0.88510691 -1.39964400 50.712890 -80.193694
    Oben rechts KachelX + 1 21001 KachelY 29192 0.88529866 -1.39964400 50.723877 -80.193694
    Unten links KachelX 21000 KachelY + 1 29193 0.88510691 -1.39967666 50.712890 -80.195565
    Unten rechts KachelX + 1 21001 KachelY + 1 29193 0.88529866 -1.39967666 50.723877 -80.195565
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39964400--1.39967666) × R
    3.26599999997956e-05 × 6371000     		dl = 208.076859998698m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39964400--1.39967666) × R
    3.26599999997956e-05 × 6371000     		dr = 208.076859998698m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.88510691-0.88529866) × cos(-1.39964400) × R
    0.000191750000000046 × 0.170317952226229 × 6371000     		do = 208.067095419236m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.88510691-0.88529866) × cos(-1.39967666) × R
    0.000191750000000046 × 0.170285769325457 × 6371000     		du = 208.027779524474m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39964400)-sin(-1.39967666))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.170317952226229-0.170285769325457)×R²
    abs(0.88529866-0.88510691)×3.21829007718932e-05×R²
    0.000191750000000046×3.21829007718932e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.21829007718932e-05×40589641000000     		ar = 43289.8575232644m²