Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 21000 / 4600
↖ ↑ ↗
← N 78.080156°
E 50.712890°		 ← 252.32 m → N 78.080156°
E 50.723877°		 →
↑
252.29 m
↓
↑
252.29 m
↓
N 78.077887°
E 50.712890°		 ← 252.37 m →
63 664 m²		 N 78.077887°
E 50.723877°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21000 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4600 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.640884399414062 y=0.140396118164062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.640884399414062 × 215)
    floor (0.640884399414062 × 32768)
    floor (21000.5)     		tx = 21000
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.140396118164062 × 215)
    floor (0.140396118164062 × 32768)
    floor (4600.5)     		ty = 4600
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 21000 / 4600 ti = "15/21000/4600"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/21000/4600.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21000 ÷ 215
    21000 ÷ 32768     		x = 0.640869140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4600 ÷ 215
    4600 ÷ 32768     		y = 0.140380859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.640869140625 × 2 - 1) × π
    0.28173828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.88510691
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.140380859375 × 2 - 1) × π
    0.71923828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.25955370049097
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.88510691} λ = 0.88510691}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.25955370049097))-π/2
    2×atan(9.5788131930277)-π/2
    2×1.46677606486602-π/2
    2.93355212973203-1.57079632675     		φ = 1.36275580
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.88510691} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.712890°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36275580 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.080156°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21000 KachelY 4600 0.88510691 1.36275580 50.712890 78.080156
    Oben rechts KachelX + 1 21001 KachelY 4600 0.88529866 1.36275580 50.723877 78.080156
    Unten links KachelX 21000 KachelY + 1 4601 0.88510691 1.36271620 50.712890 78.077887
    Unten rechts KachelX + 1 21001 KachelY + 1 4601 0.88529866 1.36271620 50.723877 78.077887
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36275580-1.36271620) × R
    3.96000000000285e-05 × 6371000     		dl = 252.291600000182m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36275580-1.36271620) × R
    3.96000000000285e-05 × 6371000     		dr = 252.291600000182m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.88510691-0.88529866) × cos(1.36275580) × R
    0.000191750000000046 × 0.206543075506861 × 6371000     		do = 252.321127854955m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.88510691-0.88529866) × cos(1.36271620) × R
    0.000191750000000046 × 0.206581821470239 × 6371000     		du = 252.368461444597m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36275580)-sin(1.36271620))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.206543075506861-0.206581821470239)×R²
    abs(0.88529866-0.88510691)×3.87459633786058e-05×R²
    0.000191750000000046×3.87459633786058e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.87459633786058e-05×40589641000000     		ar = 63664.4720020653m²