Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 21001 / 4615
↖ ↑ ↗
← N 78.046071°
E 50.723877°		 ← 253.03 m → N 78.046071°
E 50.734863°		 →
↑
253.06 m
↓
↑
253.06 m
↓
N 78.043795°
E 50.723877°		 ← 253.08 m →
64 037 m²		 N 78.043795°
E 50.734863°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21001 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4615 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.640914916992188 y=0.140853881835938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.640914916992188 × 215)
    floor (0.640914916992188 × 32768)
    floor (21001.5)     		tx = 21001
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.140853881835938 × 215)
    floor (0.140853881835938 × 32768)
    floor (4615.5)     		ty = 4615
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 21001 / 4615 ti = "15/21001/4615"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/21001/4615.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21001 ÷ 215
    21001 ÷ 32768     		x = 0.640899658203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4615 ÷ 215
    4615 ÷ 32768     		y = 0.140838623046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.640899658203125 × 2 - 1) × π
    0.28179931640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.88529866
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.140838623046875 × 2 - 1) × π
    0.71832275390625 × 3.1415926535     		Φ = 2.25667748651376
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.88529866} λ = 0.88529866}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.25667748651376))-π/2
    2×atan(9.55130205955593)-π/2
    2×1.46647861550328-π/2
    2.93295723100656-1.57079632675     		φ = 1.36216090
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.88529866} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.723877°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36216090 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.046071°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21001 KachelY 4615 0.88529866 1.36216090 50.723877 78.046071
    Oben rechts KachelX + 1 21002 KachelY 4615 0.88549041 1.36216090 50.734863 78.046071
    Unten links KachelX 21001 KachelY + 1 4616 0.88529866 1.36212118 50.723877 78.043795
    Unten rechts KachelX + 1 21002 KachelY + 1 4616 0.88549041 1.36212118 50.734863 78.043795
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36216090-1.36212118) × R
    3.97199999999653e-05 × 6371000     		dl = 253.056119999779m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36216090-1.36212118) × R
    3.97199999999653e-05 × 6371000     		dr = 253.056119999779m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.88529866-0.88549041) × cos(1.36216090) × R
    0.000191749999999935 × 0.207125111397893 × 6371000     		do = 253.032165744203m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.88529866-0.88549041) × cos(1.36212118) × R
    0.000191749999999935 × 0.207163969884959 × 6371000     		du = 253.079636797198m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36216090)-sin(1.36212118))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.207125111397893-0.207163969884959)×R²
    abs(0.88549041-0.88529866)×3.88584870658903e-05×R²
    0.000191749999999935×3.88584870658903e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.88584870658903e-05×40589641000000     		ar = 64037.344527325m²