Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 21007 / 4623
↖ ↑ ↗
← N 78.027853°
E 50.789795°		 ← 253.41 m → N 78.027853°
E 50.800782°		 →
↑
253.44 m
↓
↑
253.44 m
↓
N 78.025574°
E 50.789795°		 ← 253.46 m →
64 230 m²		 N 78.025574°
E 50.800782°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21007 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4623 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.641098022460938 y=0.141098022460938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.641098022460938 × 215)
    floor (0.641098022460938 × 32768)
    floor (21007.5)     		tx = 21007
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.141098022460938 × 215)
    floor (0.141098022460938 × 32768)
    floor (4623.5)     		ty = 4623
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 21007 / 4623 ti = "15/21007/4623"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/21007/4623.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21007 ÷ 215
    21007 ÷ 32768     		x = 0.641082763671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4623 ÷ 215
    4623 ÷ 32768     		y = 0.141082763671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.641082763671875 × 2 - 1) × π
    0.28216552734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.88644915
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.141082763671875 × 2 - 1) × π
    0.71783447265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.25514350572592
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.88644915} λ = 0.88644915}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.25514350572592))-π/2
    2×atan(9.53666177752421)-π/2
    2×1.46631963327462-π/2
    2.93263926654924-1.57079632675     		φ = 1.36184294
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.88644915} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.789795°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36184294 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.027853°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21007 KachelY 4623 0.88644915 1.36184294 50.789795 78.027853
    Oben rechts KachelX + 1 21008 KachelY 4623 0.88664090 1.36184294 50.800782 78.027853
    Unten links KachelX 21007 KachelY + 1 4624 0.88644915 1.36180316 50.789795 78.025574
    Unten rechts KachelX + 1 21008 KachelY + 1 4624 0.88664090 1.36180316 50.800782 78.025574
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36184294-1.36180316) × R
    3.97800000000448e-05 × 6371000     		dl = 253.438380000285m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36184294-1.36180316) × R
    3.97800000000448e-05 × 6371000     		dr = 253.438380000285m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.88644915-0.88664090) × cos(1.36184294) × R
    0.000191749999999935 × 0.207436165789235 × 6371000     		do = 253.412161997551m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.88644915-0.88664090) × cos(1.36180316) × R
    0.000191749999999935 × 0.20747508035265 × 6371000     		du = 253.459701555615m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36184294)-sin(1.36180316))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.207436165789235-0.20747508035265)×R²
    abs(0.88664090-0.88644915)×3.89145634150101e-05×R²
    0.000191749999999935×3.89145634150101e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.89145634150101e-05×40589641000000     		ar = 64230.3919916439m²