Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 21008 / 4624
↖ ↑ ↗
← N 78.025574°
E 50.800782°		 ← 253.45 m → N 78.025574°
E 50.811767°		 →
↑
253.50 m
↓
↑
253.50 m
↓
N 78.023294°
E 50.800782°		 ← 253.49 m →
64 255 m²		 N 78.023294°
E 50.811767°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21008 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4624 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.641128540039062 y=0.141128540039062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.641128540039062 × 215)
    floor (0.641128540039062 × 32768)
    floor (21008.5)     		tx = 21008
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.141128540039062 × 215)
    floor (0.141128540039062 × 32768)
    floor (4624.5)     		ty = 4624
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 21008 / 4624 ti = "15/21008/4624"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/21008/4624.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21008 ÷ 215
    21008 ÷ 32768     		x = 0.64111328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4624 ÷ 215
    4624 ÷ 32768     		y = 0.14111328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.64111328125 × 2 - 1) × π
    0.2822265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.88664090
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14111328125 × 2 - 1) × π
    0.7177734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.25495175812744
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.88664090} λ = 0.88664090}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.25495175812744))-π/2
    2×atan(9.53483332083755)-π/2
    2×1.46629974371594-π/2
    2.93259948743187-1.57079632675     		φ = 1.36180316
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.88664090} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.800782°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36180316 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.025574°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21008 KachelY 4624 0.88664090 1.36180316 50.800782 78.025574
    Oben rechts KachelX + 1 21009 KachelY 4624 0.88683264 1.36180316 50.811767 78.025574
    Unten links KachelX 21008 KachelY + 1 4625 0.88664090 1.36176337 50.800782 78.023294
    Unten rechts KachelX + 1 21009 KachelY + 1 4625 0.88683264 1.36176337 50.811767 78.023294
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36180316-1.36176337) × R
    3.9789999999984e-05 × 6371000     		dl = 253.502089999898m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36180316-1.36176337) × R
    3.9789999999984e-05 × 6371000     		dr = 253.502089999898m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.88664090-0.88683264) × cos(1.36180316) × R
    0.000191739999999996 × 0.20747508035265 × 6371000     		do = 253.446483318326m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.88664090-0.88683264) × cos(1.36176337) × R
    0.000191739999999996 × 0.207514004370067 × 6371000     		du = 253.494031945921m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36180316)-sin(1.36176337))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.20747508035265-0.207514004370067)×R²
    abs(0.88683264-0.88664090)×3.89240174168415e-05×R²
    0.000191739999999996×3.89240174168415e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.89240174168415e-05×40589641000000     		ar = 64255.2400708207m²