Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 21012 / 4628
↖ ↑ ↗
← N 78.016453°
E 50.844727°		 ← 253.64 m → N 78.016453°
E 50.855713°		 →
↑
253.69 m
↓
↑
253.69 m
↓
N 78.014171°
E 50.844727°		 ← 253.68 m →
64 352 m²		 N 78.014171°
E 50.855713°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21012 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4628 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.641250610351562 y=0.141250610351562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.641250610351562 × 215)
    floor (0.641250610351562 × 32768)
    floor (21012.5)     		tx = 21012
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.141250610351562 × 215)
    floor (0.141250610351562 × 32768)
    floor (4628.5)     		ty = 4628
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 21012 / 4628 ti = "15/21012/4628"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/21012/4628.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21012 ÷ 215
    21012 ÷ 32768     		x = 0.6412353515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4628 ÷ 215
    4628 ÷ 32768     		y = 0.1412353515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6412353515625 × 2 - 1) × π
    0.282470703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.88740789
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1412353515625 × 2 - 1) × π
    0.717529296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.25418476773352
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.88740789} λ = 0.88740789}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.25418476773352))-π/2
    2×atan(9.52752299910447)-π/2
    2×1.46622014816313-π/2
    2.93244029632626-1.57079632675     		φ = 1.36164397
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.88740789} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.844727°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36164397 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.016453°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21012 KachelY 4628 0.88740789 1.36164397 50.844727 78.016453
    Oben rechts KachelX + 1 21013 KachelY 4628 0.88759963 1.36164397 50.855713 78.016453
    Unten links KachelX 21012 KachelY + 1 4629 0.88740789 1.36160415 50.844727 78.014171
    Unten rechts KachelX + 1 21013 KachelY + 1 4629 0.88759963 1.36160415 50.855713 78.014171
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36164397-1.36160415) × R
    3.98200000000237e-05 × 6371000     		dl = 253.693220000151m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36164397-1.36160415) × R
    3.98200000000237e-05 × 6371000     		dr = 253.693220000151m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.88740789-0.88759963) × cos(1.36164397) × R
    0.000191739999999996 × 0.207630803797017 × 6371000     		do = 253.63671126897m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.88740789-0.88759963) × cos(1.36160415) × R
    0.000191739999999996 × 0.207669755845605 × 6371000     		du = 253.684294138757m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36164397)-sin(1.36160415))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.207630803797017-0.207669755845605)×R²
    abs(0.88759963-0.88740789)×3.89520485878647e-05×R²
    0.000191739999999996×3.89520485878647e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.89520485878647e-05×40589641000000     		ar = 64351.9497264773m²