Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 21016 / 4632
↖ ↑ ↗
← N 78.007325°
E 50.888672°		 ← 253.83 m → N 78.007325°
E 50.899658°		 →
↑
253.88 m
↓
↑
253.88 m
↓
N 78.005042°
E 50.888672°		 ← 253.87 m →
64 449 m²		 N 78.005042°
E 50.899658°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21016 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4632 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.641372680664062 y=0.141372680664062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.641372680664062 × 215)
    floor (0.641372680664062 × 32768)
    floor (21016.5)     		tx = 21016
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.141372680664062 × 215)
    floor (0.141372680664062 × 32768)
    floor (4632.5)     		ty = 4632
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 21016 / 4632 ti = "15/21016/4632"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/21016/4632.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21016 ÷ 215
    21016 ÷ 32768     		x = 0.641357421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4632 ÷ 215
    4632 ÷ 32768     		y = 0.141357421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.641357421875 × 2 - 1) × π
    0.28271484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.88817488
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.141357421875 × 2 - 1) × π
    0.71728515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.2534177773396
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.88817488} λ = 0.88817488}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.2534177773396))-π/2
    2×atan(9.52021828216826)-π/2
    2×1.46614049286932-π/2
    2.93228098573864-1.57079632675     		φ = 1.36148466
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.88817488} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.888672°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36148466 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.007325°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21016 KachelY 4632 0.88817488 1.36148466 50.888672 78.007325
    Oben rechts KachelX + 1 21017 KachelY 4632 0.88836662 1.36148466 50.899658 78.007325
    Unten links KachelX 21016 KachelY + 1 4633 0.88817488 1.36144481 50.888672 78.005042
    Unten rechts KachelX + 1 21017 KachelY + 1 4633 0.88836662 1.36144481 50.899658 78.005042
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36148466-1.36144481) × R
    3.98499999998414e-05 × 6371000     		dl = 253.88434999899m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36148466-1.36144481) × R
    3.98499999998414e-05 × 6371000     		dr = 253.88434999899m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.88817488-0.88836662) × cos(1.36148466) × R
    0.000191739999999996 × 0.207786639360619 × 6371000     		do = 253.827076181728m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.88817488-0.88836662) × cos(1.36144481) × R
    0.000191739999999996 × 0.207825619436414 × 6371000     		du = 253.874693288866m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36148466)-sin(1.36144481))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.207786639360619-0.207825619436414)×R²
    abs(0.88836662-0.88817488)×3.89800757941428e-05×R²
    0.000191739999999996×3.89800757941428e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.89800757941428e-05×40589641000000     		ar = 64448.7668758261m²