Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 21024 / 4641
↖ ↑ ↗
← N 77.986762°
E 50.976563°		 ← 254.26 m → N 77.986762°
E 50.987549°		 →
↑
254.27 m
↓
↑
254.27 m
↓
N 77.984475°
E 50.976563°		 ← 254.30 m →
64 655 m²		 N 77.984475°
E 50.987549°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21024 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4641 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.641616821289062 y=0.141647338867188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.641616821289062 × 215)
    floor (0.641616821289062 × 32768)
    floor (21024.5)     		tx = 21024
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.141647338867188 × 215)
    floor (0.141647338867188 × 32768)
    floor (4641.5)     		ty = 4641
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 21024 / 4641 ti = "15/21024/4641"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/21024/4641.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21024 ÷ 215
    21024 ÷ 32768     		x = 0.6416015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4641 ÷ 215
    4641 ÷ 32768     		y = 0.141632080078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6416015625 × 2 - 1) × π
    0.283203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.88970886
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.141632080078125 × 2 - 1) × π
    0.71673583984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.25169204895328
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.88970886} λ = 0.88970886}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.25169204895328))-π/2
    2×atan(9.50380313934758)-π/2
    2×1.46596104980838-π/2
    2.93192209961675-1.57079632675     		φ = 1.36112577
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.88970886} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.976563°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36112577 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.986762°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21024 KachelY 4641 0.88970886 1.36112577 50.976563 77.986762
    Oben rechts KachelX + 1 21025 KachelY 4641 0.88990060 1.36112577 50.987549 77.986762
    Unten links KachelX 21024 KachelY + 1 4642 0.88970886 1.36108586 50.976563 77.984475
    Unten rechts KachelX + 1 21025 KachelY + 1 4642 0.88990060 1.36108586 50.987549 77.984475
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36112577-1.36108586) × R
    3.99099999999208e-05 × 6371000     		dl = 254.266609999496m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36112577-1.36108586) × R
    3.99099999999208e-05 × 6371000     		dr = 254.266609999496m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.88970886-0.88990060) × cos(1.36112577) × R
    0.000191739999999996 × 0.20813768290032 × 6371000     		do = 254.255902383302m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.88970886-0.88990060) × cos(1.36108586) × R
    0.000191739999999996 × 0.208176718687084 × 6371000     		du = 254.303587545597m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36112577)-sin(1.36108586))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.20813768290032-0.208176718687084)×R²
    abs(0.88990060-0.88970886)×3.90357867633417e-05×R²
    0.000191739999999996×3.90357867633417e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.90357867633417e-05×40589641000000     		ar = 64654.8487517478m²