Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 21028 / 4644
↖ ↑ ↗
← N 77.979900°
E 51.020508°		 ← 254.40 m → N 77.979900°
E 51.031494°		 →
↑
254.46 m
↓
↑
254.46 m
↓
N 77.977612°
E 51.020508°		 ← 254.45 m →
64 740 m²		 N 77.977612°
E 51.031494°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21028 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4644 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.641738891601562 y=0.141738891601562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.641738891601562 × 215)
    floor (0.641738891601562 × 32768)
    floor (21028.5)     		tx = 21028
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.141738891601562 × 215)
    floor (0.141738891601562 × 32768)
    floor (4644.5)     		ty = 4644
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 21028 / 4644 ti = "15/21028/4644"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/21028/4644.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21028 ÷ 215
    21028 ÷ 32768     		x = 0.6417236328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4644 ÷ 215
    4644 ÷ 32768     		y = 0.1417236328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6417236328125 × 2 - 1) × π
    0.283447265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.89047585
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1417236328125 × 2 - 1) × π
    0.716552734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.25111680615784
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.89047585} λ = 0.89047585}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.25111680615784))-π/2
    2×atan(9.49833771718546)-π/2
    2×1.46590116811356-π/2
    2.93180233622712-1.57079632675     		φ = 1.36100601
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.89047585} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 51.020508°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36100601 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.979900°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21028 KachelY 4644 0.89047585 1.36100601 51.020508 77.979900
    Oben rechts KachelX + 1 21029 KachelY 4644 0.89066759 1.36100601 51.031494 77.979900
    Unten links KachelX 21028 KachelY + 1 4645 0.89047585 1.36096607 51.020508 77.977612
    Unten rechts KachelX + 1 21029 KachelY + 1 4645 0.89066759 1.36096607 51.031494 77.977612
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36100601-1.36096607) × R
    3.99400000001826e-05 × 6371000     		dl = 254.457740001163m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36100601-1.36096607) × R
    3.99400000001826e-05 × 6371000     		dr = 254.457740001163m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.89047585-0.89066759) × cos(1.36100601) × R
    0.000191739999999996 × 0.20825481860803 × 6371000     		do = 254.3989924987m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.89047585-0.89066759) × cos(1.36096607) × R
    0.000191739999999996 × 0.208293882741589 × 6371000     		du = 254.446712288748m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36100601)-sin(1.36096607))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.20825481860803-0.208293882741589)×R²
    abs(0.89066759-0.89047585)×3.90641335596686e-05×R²
    0.000191739999999996×3.90641335596686e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.90641335596686e-05×40589641000000     		ar = 64739.8640334281m²