Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 21032 / 4648
↖ ↑ ↗
← N 77.970745°
E 51.064453°		 ← 254.60 m → N 77.970745°
E 51.075440°		 →
↑
254.65 m
↓
↑
254.65 m
↓
N 77.968455°
E 51.064453°		 ← 254.65 m →
64 840 m²		 N 77.968455°
E 51.075440°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21032 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4648 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.641860961914062 y=0.141860961914062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.641860961914062 × 215)
    floor (0.641860961914062 × 32768)
    floor (21032.5)     		tx = 21032
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.141860961914062 × 215)
    floor (0.141860961914062 × 32768)
    floor (4648.5)     		ty = 4648
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 21032 / 4648 ti = "15/21032/4648"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/21032/4648.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21032 ÷ 215
    21032 ÷ 32768     		x = 0.641845703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4648 ÷ 215
    4648 ÷ 32768     		y = 0.141845703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.641845703125 × 2 - 1) × π
    0.28369140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.89124284
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.141845703125 × 2 - 1) × π
    0.71630859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.25034981576392
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.89124284} λ = 0.89124284}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.25034981576392))-π/2
    2×atan(9.49105537649784)-π/2
    2×1.4658212734273-π/2
    2.9316425468546-1.57079632675     		φ = 1.36084622
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.89124284} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 51.064453°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36084622 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.970745°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21032 KachelY 4648 0.89124284 1.36084622 51.064453 77.970745
    Oben rechts KachelX + 1 21033 KachelY 4648 0.89143459 1.36084622 51.075440 77.970745
    Unten links KachelX 21032 KachelY + 1 4649 0.89124284 1.36080625 51.064453 77.968455
    Unten rechts KachelX + 1 21033 KachelY + 1 4649 0.89143459 1.36080625 51.075440 77.968455
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36084622-1.36080625) × R
    3.99700000000003e-05 × 6371000     		dl = 254.648870000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36084622-1.36080625) × R
    3.99700000000003e-05 × 6371000     		dr = 254.648870000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.89124284-0.89143459) × cos(1.36084622) × R
    0.000191750000000046 × 0.208411102489631 × 6371000     		do = 254.603182937167m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.89124284-0.89143459) × cos(1.36080625) × R
    0.000191750000000046 × 0.208450194634472 × 6371000     		du = 254.650939435671m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36084622)-sin(1.36080625))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.208411102489631-0.208450194634472)×R²
    abs(0.89143459-0.89124284)×3.90921448408521e-05×R²
    0.000191750000000046×3.90921448408521e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.90921448408521e-05×40589641000000     		ar = 64840.493411823m²