Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2104 / 1352
↖ ↑ ↗
← N 52.052490°
E  4.921875°		 ← 6 009.79 m → N 52.052490°
E  5.009765°		 →
↑
6 013.40 m
↓
↑
6 013.40 m
↓
N 51.998411°
E  4.921875°		 ← 6 017.06 m →
36 161 133 m²		 N 51.998411°
E  5.009765°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2104 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1352 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5137939453125 y=0.3302001953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5137939453125 × 212)
    floor (0.5137939453125 × 4096)
    floor (2104.5)     		tx = 2104
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3302001953125 × 212)
    floor (0.3302001953125 × 4096)
    floor (1352.5)     		ty = 1352
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2104 / 1352 ti = "12/2104/1352"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2104/1352.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2104 ÷ 212
    2104 ÷ 4096     		x = 0.513671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1352 ÷ 212
    1352 ÷ 4096     		y = 0.330078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.513671875 × 2 - 1) × π
    0.02734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.08590292
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.330078125 × 2 - 1) × π
    0.33984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.06765062833789
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.08590292} λ = 0.08590292}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06765062833789))-π/2
    2×atan(2.90853822948569)-π/2
    2×1.23964183472267-π/2
    2.47928366944534-1.57079632675     		φ = 0.90848734
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.08590292} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.921875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90848734 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.052490°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2104 KachelY 1352 0.08590292 0.90848734 4.921875 52.052490
    Oben rechts KachelX + 1 2105 KachelY 1352 0.08743690 0.90848734 5.009765 52.052490
    Unten links KachelX 2104 KachelY + 1 1353 0.08590292 0.90754347 4.921875 51.998411
    Unten rechts KachelX + 1 2105 KachelY + 1 1353 0.08743690 0.90754347 5.009765 51.998411
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90848734-0.90754347) × R
    0.000943869999999958 × 6371000     		dl = 6013.39576999973m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90848734-0.90754347) × R
    0.000943869999999958 × 6371000     		dr = 6013.39576999973m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.08590292-0.08743690) × cos(0.90848734) × R
    0.00153398 × 0.614939297592205 × 6371000     		do = 6009.79350288326m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.08590292-0.08743690) × cos(0.90754347) × R
    0.00153398 × 0.615683335324272 × 6371000     		du = 6017.06497365377m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90848734)-sin(0.90754347))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.614939297592205-0.615683335324272)×R²
    abs(0.08743690-0.08590292)×0.000744037732067104×R²
    0.00153398×0.000744037732067104×6371000²
    0.00153398×0.000744037732067104×40589641000000     		ar = 36161132.6292311m²