Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 21056 / 4672
↖ ↑ ↗
← N 77.915669°
E 51.328125°		 ← 255.75 m → N 77.915669°
E 51.339111°		 →
↑
255.73 m
↓
↑
255.73 m
↓
N 77.913369°
E 51.328125°		 ← 255.80 m →
65 410 m²		 N 77.913369°
E 51.339111°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21056 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4672 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.642593383789062 y=0.142593383789062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.642593383789062 × 215)
    floor (0.642593383789062 × 32768)
    floor (21056.5)     		tx = 21056
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.142593383789062 × 215)
    floor (0.142593383789062 × 32768)
    floor (4672.5)     		ty = 4672
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 21056 / 4672 ti = "15/21056/4672"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/21056/4672.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21056 ÷ 215
    21056 ÷ 32768     		x = 0.642578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4672 ÷ 215
    4672 ÷ 32768     		y = 0.142578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.642578125 × 2 - 1) × π
    0.28515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.89584478
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.142578125 × 2 - 1) × π
    0.71484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.24574787340039
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.89584478} λ = 0.89584478}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.24574787340039))-π/2
    2×atan(9.44747843288317)-π/2
    2×1.46534064474344-π/2
    2.93068128948688-1.57079632675     		φ = 1.35988496
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.89584478} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 51.328125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35988496 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.915669°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21056 KachelY 4672 0.89584478 1.35988496 51.328125 77.915669
    Oben rechts KachelX + 1 21057 KachelY 4672 0.89603653 1.35988496 51.339111 77.915669
    Unten links KachelX 21056 KachelY + 1 4673 0.89584478 1.35984482 51.328125 77.913369
    Unten rechts KachelX + 1 21057 KachelY + 1 4673 0.89603653 1.35984482 51.339111 77.913369
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35988496-1.35984482) × R
    4.01400000000773e-05 × 6371000     		dl = 255.731940000493m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35988496-1.35984482) × R
    4.01400000000773e-05 × 6371000     		dr = 255.731940000493m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.89584478-0.89603653) × cos(1.35988496) × R
    0.000191750000000046 × 0.209351158050482 × 6371000     		do = 255.751591707484m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.89584478-0.89603653) × cos(1.35984482) × R
    0.000191750000000046 × 0.209390408400496 × 6371000     		du = 255.799541475637m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35988496)-sin(1.35984482))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.209351158050482-0.209390408400496)×R²
    abs(0.89603653-0.89584478)×3.92503500136476e-05×R²
    0.000191750000000046×3.92503500136476e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.92503500136476e-05×40589641000000     		ar = 65409.9818584817m²