Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 21058 / 4674
↖ ↑ ↗
← N 77.911068°
E 51.350098°		 ← 255.83 m → N 77.911068°
E 51.361084°		 →
↑
255.86 m
↓
↑
255.86 m
↓
N 77.908767°
E 51.350098°		 ← 255.88 m →
65 464 m²		 N 77.908767°
E 51.361084°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21058 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4674 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.642654418945312 y=0.142654418945312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.642654418945312 × 215)
    floor (0.642654418945312 × 32768)
    floor (21058.5)     		tx = 21058
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.142654418945312 × 215)
    floor (0.142654418945312 × 32768)
    floor (4674.5)     		ty = 4674
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 21058 / 4674 ti = "15/21058/4674"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/21058/4674.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21058 ÷ 215
    21058 ÷ 32768     		x = 0.64263916015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4674 ÷ 215
    4674 ÷ 32768     		y = 0.14263916015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.64263916015625 × 2 - 1) × π
    0.2852783203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.89622828
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14263916015625 × 2 - 1) × π
    0.7147216796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.24536437820343
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.89622828} λ = 0.89622828}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.24536437820343))-π/2
    2×atan(9.44385606490553)-π/2
    2×1.46530049463457-π/2
    2.93060098926915-1.57079632675     		φ = 1.35980466
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.89622828} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 51.350098°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35980466 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.911068°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21058 KachelY 4674 0.89622828 1.35980466 51.350098 77.911068
    Oben rechts KachelX + 1 21059 KachelY 4674 0.89642002 1.35980466 51.361084 77.911068
    Unten links KachelX 21058 KachelY + 1 4675 0.89622828 1.35976450 51.350098 77.908767
    Unten rechts KachelX + 1 21059 KachelY + 1 4675 0.89642002 1.35976450 51.361084 77.908767
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35980466-1.35976450) × R
    4.01599999999558e-05 × 6371000     		dl = 255.859359999718m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35980466-1.35976450) × R
    4.01599999999558e-05 × 6371000     		dr = 255.859359999718m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.89622828-0.89642002) × cos(1.35980466) × R
    0.000191739999999996 × 0.20942967796961 × 6371000     		do = 255.834171957746m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.89622828-0.89642002) × cos(1.35976450) × R
    0.000191739999999996 × 0.20946894720095 × 6371000     		du = 255.882142290226m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35980466)-sin(1.35976450))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.20942967796961-0.20946894720095)×R²
    abs(0.89642002-0.89622828)×3.92692313403165e-05×R²
    0.000191739999999996×3.92692313403165e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.92692313403165e-05×40589641000000     		ar = 65463.7043414036m²