Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 21088 / 4704
↖ ↑ ↗
← N 77.841848°
E 51.679687°		 ← 257.29 m → N 77.841848°
E 51.690674°		 →
↑
257.32 m
↓
↑
257.32 m
↓
N 77.839534°
E 51.679687°		 ← 257.34 m →
66 213 m²		 N 77.839534°
E 51.690674°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21088 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4704 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.643569946289062 y=0.143569946289062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.643569946289062 × 215)
    floor (0.643569946289062 × 32768)
    floor (21088.5)     		tx = 21088
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.143569946289062 × 215)
    floor (0.143569946289062 × 32768)
    floor (4704.5)     		ty = 4704
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 21088 / 4704 ti = "15/21088/4704"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/21088/4704.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21088 ÷ 215
    21088 ÷ 32768     		x = 0.6435546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4704 ÷ 215
    4704 ÷ 32768     		y = 0.1435546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6435546875 × 2 - 1) × π
    0.287109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.90198070
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1435546875 × 2 - 1) × π
    0.712890625 × 3.1415926535     		Φ = 2.23961195024902
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.90198070} λ = 0.90198070}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.23961195024902))-π/2
    2×atan(9.38968691472055)-π/2
    2×1.46469643293211-π/2
    2.92939286586422-1.57079632675     		φ = 1.35859654
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.90198070} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 51.679687°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35859654 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.841848°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21088 KachelY 4704 0.90198070 1.35859654 51.679687 77.841848
    Oben rechts KachelX + 1 21089 KachelY 4704 0.90217245 1.35859654 51.690674 77.841848
    Unten links KachelX 21088 KachelY + 1 4705 0.90198070 1.35855615 51.679687 77.839534
    Unten rechts KachelX + 1 21089 KachelY + 1 4705 0.90217245 1.35855615 51.690674 77.839534
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35859654-1.35855615) × R
    4.03899999998902e-05 × 6371000     		dl = 257.324689999301m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35859654-1.35855615) × R
    4.03899999998902e-05 × 6371000     		dr = 257.324689999301m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.90198070-0.90217245) × cos(1.35859654) × R
    0.000191750000000046 × 0.210610853227156 × 6371000     		do = 257.290484778345m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.90198070-0.90217245) × cos(1.35855615) × R
    0.000191750000000046 × 0.210650337106903 × 6371000     		du = 257.338719835586m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35859654)-sin(1.35855615))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.210610853227156-0.210650337106903)×R²
    abs(0.90217245-0.90198070)×3.9483879747032e-05×R²
    0.000191750000000046×3.9483879747032e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.9483879747032e-05×40589641000000     		ar = 66213.4002796743m²