Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 21120 / 12928
↖ ↑ ↗
← N 35.460670°
E 52.031250°		 ← 994.99 m → N 35.460670°
E 52.042236°		 →
↑
995.09 m
↓
↑
995.09 m
↓
N 35.451721°
E 52.031250°		 ← 995.10 m →
990 156 m²		 N 35.451721°
E 52.042236°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21120 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12928 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.644546508789062 y=0.394546508789062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.644546508789062 × 215)
    floor (0.644546508789062 × 32768)
    floor (21120.5)     		tx = 21120
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.394546508789062 × 215)
    floor (0.394546508789062 × 32768)
    floor (12928.5)     		ty = 12928
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 21120 / 12928 ti = "15/21120/12928"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/21120/12928.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21120 ÷ 215
    21120 ÷ 32768     		x = 0.64453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12928 ÷ 215
    12928 ÷ 32768     		y = 0.39453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.64453125 × 2 - 1) × π
    0.2890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.90811663
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.39453125 × 2 - 1) × π
    0.2109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.662679700347656
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.90811663} λ = 0.90811663}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.662679700347656))-π/2
    2×atan(1.93998395097488)-π/2
    2×1.09485088619804-π/2
    2.18970177239608-1.57079632675     		φ = 0.61890545
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.90811663} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 52.031250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.61890545 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 35.460670°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21120 KachelY 12928 0.90811663 0.61890545 52.031250 35.460670
    Oben rechts KachelX + 1 21121 KachelY 12928 0.90830837 0.61890545 52.042236 35.460670
    Unten links KachelX 21120 KachelY + 1 12929 0.90811663 0.61874926 52.031250 35.451721
    Unten rechts KachelX + 1 21121 KachelY + 1 12929 0.90830837 0.61874926 52.042236 35.451721
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.61890545-0.61874926) × R
    0.00015619 × 6371000     		dl = 995.086490000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.61890545-0.61874926) × R
    0.00015619 × 6371000     		dr = 995.086490000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.90811663-0.90830837) × cos(0.61890545) × R
    0.000191739999999996 × 0.81451394104121 × 6371000     		do = 994.990307364923m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.90811663-0.90830837) × cos(0.61874926) × R
    0.000191739999999996 × 0.814604543794228 × 6371000     		du = 995.100985471865m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.61890545)-sin(0.61874926))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.81451394104121-0.814604543794228)×R²
    abs(0.90830837-0.90811663)×9.06027530174214e-05×R²
    0.000191739999999996×9.06027530174214e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.06027530174214e-05×40589641000000     		ar = 990156.481697658m²