Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 21120 / 4736
↖ ↑ ↗
← N 77.767582°
E 52.031250°		 ← 258.82 m → N 77.767582°
E 52.042236°		 →
↑
258.85 m
↓
↑
258.85 m
↓
N 77.765254°
E 52.031250°		 ← 258.87 m →
67 004 m²		 N 77.765254°
E 52.042236°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21120 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4736 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.644546508789062 y=0.144546508789062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.644546508789062 × 215)
    floor (0.644546508789062 × 32768)
    floor (21120.5)     		tx = 21120
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.144546508789062 × 215)
    floor (0.144546508789062 × 32768)
    floor (4736.5)     		ty = 4736
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 21120 / 4736 ti = "15/21120/4736"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/21120/4736.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21120 ÷ 215
    21120 ÷ 32768     		x = 0.64453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4736 ÷ 215
    4736 ÷ 32768     		y = 0.14453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.64453125 × 2 - 1) × π
    0.2890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.90811663
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14453125 × 2 - 1) × π
    0.7109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.23347602709766
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.90811663} λ = 0.90811663}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.23347602709766))-π/2
    2×atan(9.33224891518146)-π/2
    2×1.46404834533796-π/2
    2.92809669067591-1.57079632675     		φ = 1.35730036
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.90811663} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 52.031250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35730036 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.767582°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21120 KachelY 4736 0.90811663 1.35730036 52.031250 77.767582
    Oben rechts KachelX + 1 21121 KachelY 4736 0.90830837 1.35730036 52.042236 77.767582
    Unten links KachelX 21120 KachelY + 1 4737 0.90811663 1.35725973 52.031250 77.765254
    Unten rechts KachelX + 1 21121 KachelY + 1 4737 0.90830837 1.35725973 52.042236 77.765254
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35730036-1.35725973) × R
    4.0629999999986e-05 × 6371000     		dl = 258.853729999911m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35730036-1.35725973) × R
    4.0629999999986e-05 × 6371000     		dr = 258.853729999911m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.90811663-0.90830837) × cos(1.35730036) × R
    0.000191739999999996 × 0.21187778260903 × 6371000     		do = 258.824716704622m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.90811663-0.90830837) × cos(1.35725973) × R
    0.000191739999999996 × 0.21191748997755 × 6371000     		du = 258.873222254764m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35730036)-sin(1.35725973))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.21187778260903-0.21191748997755)×R²
    abs(0.90830837-0.90811663)×3.97073685204086e-05×R²
    0.000191739999999996×3.97073685204086e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.97073685204086e-05×40589641000000     		ar = 67004.0212659237m²