Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 21121 / 4737
↖ ↑ ↗
← N 77.765254°
E 52.042236°		 ← 258.89 m → N 77.765254°
E 52.053223°		 →
↑
258.92 m
↓
↑
258.92 m
↓
N 77.762926°
E 52.042236°		 ← 258.94 m →
67 037 m²		 N 77.762926°
E 52.053223°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21121 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4737 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.644577026367188 y=0.144577026367188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.644577026367188 × 215)
    floor (0.644577026367188 × 32768)
    floor (21121.5)     		tx = 21121
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.144577026367188 × 215)
    floor (0.144577026367188 × 32768)
    floor (4737.5)     		ty = 4737
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 21121 / 4737 ti = "15/21121/4737"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/21121/4737.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21121 ÷ 215
    21121 ÷ 32768     		x = 0.644561767578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4737 ÷ 215
    4737 ÷ 32768     		y = 0.144561767578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.644561767578125 × 2 - 1) × π
    0.28912353515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.90830837
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.144561767578125 × 2 - 1) × π
    0.71087646484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.23328427949918
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.90830837} λ = 0.90830837}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.23328427949918))-π/2
    2×atan(9.33045965041265)-π/2
    2×1.46402802990689-π/2
    2.92805605981379-1.57079632675     		φ = 1.35725973
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.90830837} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 52.042236°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35725973 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.765254°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21121 KachelY 4737 0.90830837 1.35725973 52.042236 77.765254
    Oben rechts KachelX + 1 21122 KachelY 4737 0.90850012 1.35725973 52.053223 77.765254
    Unten links KachelX 21121 KachelY + 1 4738 0.90830837 1.35721909 52.042236 77.762926
    Unten rechts KachelX + 1 21122 KachelY + 1 4738 0.90850012 1.35721909 52.053223 77.762926
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35725973-1.35721909) × R
    4.06399999999252e-05 × 6371000     		dl = 258.917439999523m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35725973-1.35721909) × R
    4.06399999999252e-05 × 6371000     		dr = 258.917439999523m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.90830837-0.90850012) × cos(1.35725973) × R
    0.000191750000000046 × 0.21191748997755 × 6371000     		do = 258.886723518119m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.90830837-0.90850012) × cos(1.35721909) × R
    0.000191750000000046 × 0.211957206769027 × 6371000     		du = 258.935243109471m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35725973)-sin(1.35721909))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.21191748997755-0.211957206769027)×R²
    abs(0.90850012-0.90830837)×3.9716791477129e-05×R²
    0.000191750000000046×3.9716791477129e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.9716791477129e-05×40589641000000     		ar = 67036.5689964501m²