Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 21128 / 4744
↖ ↑ ↗
← N 77.748946°
E 52.119141°		 ← 259.21 m → N 77.748946°
E 52.130127°		 →
↑
259.24 m
↓
↑
259.24 m
↓
N 77.746615°
E 52.119141°		 ← 259.26 m →
67 204 m²		 N 77.746615°
E 52.130127°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21128 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4744 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.644790649414062 y=0.144790649414062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.644790649414062 × 215)
    floor (0.644790649414062 × 32768)
    floor (21128.5)     		tx = 21128
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.144790649414062 × 215)
    floor (0.144790649414062 × 32768)
    floor (4744.5)     		ty = 4744
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 21128 / 4744 ti = "15/21128/4744"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/21128/4744.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21128 ÷ 215
    21128 ÷ 32768     		x = 0.644775390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4744 ÷ 215
    4744 ÷ 32768     		y = 0.144775390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.644775390625 × 2 - 1) × π
    0.28955078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.90965061
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.144775390625 × 2 - 1) × π
    0.71044921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.23194204630981
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.90965061} λ = 0.90965061}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.23194204630981))-π/2
    2×atan(9.31794439886981)-π/2
    2×1.4638857152465-π/2
    2.927771430493-1.57079632675     		φ = 1.35697510
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.90965061} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 52.119141°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35697510 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.748946°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21128 KachelY 4744 0.90965061 1.35697510 52.119141 77.748946
    Oben rechts KachelX + 1 21129 KachelY 4744 0.90984235 1.35697510 52.130127 77.748946
    Unten links KachelX 21128 KachelY + 1 4745 0.90965061 1.35693441 52.119141 77.746615
    Unten rechts KachelX + 1 21129 KachelY + 1 4745 0.90984235 1.35693441 52.130127 77.746615
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35697510-1.35693441) × R
    4.06900000000654e-05 × 6371000     		dl = 259.235990000417m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35697510-1.35693441) × R
    4.06900000000654e-05 × 6371000     		dr = 259.235990000417m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.90965061-0.90984235) × cos(1.35697510) × R
    0.000191739999999996 × 0.212195646748196 × 6371000     		do = 259.213011762071m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.90965061-0.90984235) × cos(1.35693441) × R
    0.000191739999999996 × 0.212235409947436 × 6371000     		du = 259.261585513655m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35697510)-sin(1.35693441))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.212195646748196-0.212235409947436)×R²
    abs(0.90984235-0.90965061)×3.97631992408998e-05×R²
    0.000191739999999996×3.97631992408998e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.97631992408998e-05×40589641000000     		ar = 67203.6377669773m²