Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 2113 / 2241
↖ ↑ ↗
← S 16.720385°
E  5.712891°		 ← 9 359.79 m → S 16.720385°
E  5.800781°		 →
↑
9 357.72 m
↓
↑
9 357.72 m
↓
S 16.804541°
E  5.712891°		 ← 9 355.65 m →
87 566 953 m²		 S 16.804541°
E  5.800781°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2113 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2241 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5159912109375 y=0.5472412109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5159912109375 × 212)
    floor (0.5159912109375 × 4096)
    floor (2113.5)     		tx = 2113
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.5472412109375 × 212)
    floor (0.5472412109375 × 4096)
    floor (2241.5)     		ty = 2241
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2113 / 2241 ti = "12/2113/2241"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2113/2241.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2113 ÷ 212
    2113 ÷ 4096     		x = 0.515869140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2241 ÷ 212
    2241 ÷ 4096     		y = 0.547119140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.515869140625 × 2 - 1) × π
    0.03173828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.09970875
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.547119140625 × 2 - 1) × π
    -0.09423828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.296058292053467
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.09970875} λ = 0.09970875}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.296058292053467))-π/2
    2×atan(0.743744072387314)-π/2
    2×0.639485277724849-π/2
    1.2789705554497-1.57079632675     		φ = -0.29182577
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.09970875} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.712891°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.29182577 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -16.720385°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2113 KachelY 2241 0.09970875 -0.29182577 5.712891 -16.720385
    Oben rechts KachelX + 1 2114 KachelY 2241 0.10124273 -0.29182577 5.800781 -16.720385
    Unten links KachelX 2113 KachelY + 1 2242 0.09970875 -0.29329457 5.712891 -16.804541
    Unten rechts KachelX + 1 2114 KachelY + 1 2242 0.10124273 -0.29329457 5.800781 -16.804541
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.29182577--0.29329457) × R
    0.00146879999999999 × 6371000     		dl = 9357.72479999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.29182577--0.29329457) × R
    0.00146879999999999 × 6371000     		dr = 9357.72479999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.09970875-0.10124273) × cos(-0.29182577) × R
    0.00153398 × 0.957720195686806 × 6371000     		do = 9359.78661984215m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.09970875-0.10124273) × cos(-0.29329457) × R
    0.00153398 × 0.95729658711815 × 6371000     		du = 9355.6466989855m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.29182577)-sin(-0.29329457))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.957720195686806-0.95729658711815)×R²
    abs(0.10124273-0.09970875)×0.000423608568656308×R²
    0.00153398×0.000423608568656308×6371000²
    0.00153398×0.000423608568656308×40589641000000     		ar = 87566952.998055m²