Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 21136 / 4752
↖ ↑ ↗
← N 77.730283°
E 52.207031°		 ← 259.62 m → N 77.730283°
E 52.218018°		 →
↑
259.68 m
↓
↑
259.68 m
↓
N 77.727947°
E 52.207031°		 ← 259.66 m →
67 424 m²		 N 77.727947°
E 52.218018°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21136 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4752 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.645034790039062 y=0.145034790039062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.645034790039062 × 215)
    floor (0.645034790039062 × 32768)
    floor (21136.5)     		tx = 21136
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.145034790039062 × 215)
    floor (0.145034790039062 × 32768)
    floor (4752.5)     		ty = 4752
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 21136 / 4752 ti = "15/21136/4752"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/21136/4752.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21136 ÷ 215
    21136 ÷ 32768     		x = 0.64501953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4752 ÷ 215
    4752 ÷ 32768     		y = 0.14501953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.64501953125 × 2 - 1) × π
    0.2900390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.91118459
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14501953125 × 2 - 1) × π
    0.7099609375 × 3.1415926535     		Φ = 2.23040806552197
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.91118459} λ = 0.91118459}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.23040806552197))-π/2
    2×atan(9.30366180859001)-π/2
    2×1.46372284118196-π/2
    2.92744568236393-1.57079632675     		φ = 1.35664936
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.91118459} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 52.207031°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35664936 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.730283°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21136 KachelY 4752 0.91118459 1.35664936 52.207031 77.730283
    Oben rechts KachelX + 1 21137 KachelY 4752 0.91137634 1.35664936 52.218018 77.730283
    Unten links KachelX 21136 KachelY + 1 4753 0.91118459 1.35660860 52.207031 77.727947
    Unten rechts KachelX + 1 21137 KachelY + 1 4753 0.91137634 1.35660860 52.218018 77.727947
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35664936-1.35660860) × R
    4.07600000000841e-05 × 6371000     		dl = 259.681960000536m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35664936-1.35660860) × R
    4.07600000000841e-05 × 6371000     		dr = 259.681960000536m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.91118459-0.91137634) × cos(1.35664936) × R
    0.000191750000000046 × 0.212513957474201 × 6371000     		do = 259.615391623377m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.91118459-0.91137634) × cos(1.35660860) × R
    0.000191750000000046 × 0.212553786259007 × 6371000     		du = 259.664048030176m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35664936)-sin(1.35660860))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.212513957474201-0.212553786259007)×R²
    abs(0.91137634-0.91118459)×3.98287848065448e-05×R²
    0.000191750000000046×3.98287848065448e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.98287848065448e-05×40589641000000     		ar = 67423.75134806m²