Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 2114 / 6210
↖ ↑ ↗
← N 39.876019°
W133.549805°		 ← 1 875.05 m → N 39.876019°
W133.527832°		 →
↑
1 875.24 m
↓
↑
1 875.24 m
↓
N 39.859155°
W133.549805°		 ← 1 875.51 m →
3 516 609 m²		 N 39.859155°
W133.527832°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2114 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6210 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.129058837890625 y=0.379058837890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.129058837890625 × 214)
    floor (0.129058837890625 × 16384)
    floor (2114.5)     		tx = 2114
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.379058837890625 × 214)
    floor (0.379058837890625 × 16384)
    floor (6210.5)     		ty = 6210
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 2114 / 6210 ti = "14/2114/6210"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/2114/6210.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2114 ÷ 214
    2114 ÷ 16384     		x = 0.1290283203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6210 ÷ 214
    6210 ÷ 16384     		y = 0.3790283203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1290283203125 × 2 - 1) × π
    -0.741943359375 × 3.1415926535     		Λ = -2.33088381
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3790283203125 × 2 - 1) × π
    0.241943359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.76008748037561
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.33088381} λ = -2.33088381}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.76008748037561))-π/2
    2×atan(2.1384632858859)-π/2
    2×1.13338207911991-π/2
    2.26676415823981-1.57079632675     		φ = 0.69596783
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.33088381} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.549805°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.69596783 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.876019°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2114 KachelY 6210 -2.33088381 0.69596783 -133.549805 39.876019
    Oben rechts KachelX + 1 2115 KachelY 6210 -2.33050031 0.69596783 -133.527832 39.876019
    Unten links KachelX 2114 KachelY + 1 6211 -2.33088381 0.69567349 -133.549805 39.859155
    Unten rechts KachelX + 1 2115 KachelY + 1 6211 -2.33050031 0.69567349 -133.527832 39.859155
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.69596783-0.69567349) × R
    0.000294339999999949 × 6371000     		dl = 1875.24013999967m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.69596783-0.69567349) × R
    0.000294339999999949 × 6371000     		dr = 1875.24013999967m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.33088381--2.33050031) × cos(0.69596783) × R
    0.00038349999999987 × 0.767433557932917 × 6371000     		do = 1875.05391227537m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.33088381--2.33050031) × cos(0.69567349) × R
    0.00038349999999987 × 0.767622234444739 × 6371000     		du = 1875.51490154016m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.69596783)-sin(0.69567349))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.767433557932917-0.767622234444739)×R²
    abs(-2.33050031--2.33088381)×0.000188676511822194×R²
    0.00038349999999987×0.000188676511822194×6371000²
    0.00038349999999987×0.000188676511822194×40589641000000     		ar = 3516608.61913771m²