Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 21152 / 4768
↖ ↑ ↗
← N 77.692870°
E 52.382813°		 ← 260.39 m → N 77.692870°
E 52.393799°		 →
↑
260.38 m
↓
↑
260.38 m
↓
N 77.690529°
E 52.382813°		 ← 260.44 m →
67 809 m²		 N 77.690529°
E 52.393799°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21152 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4768 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.645523071289062 y=0.145523071289062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.645523071289062 × 215)
    floor (0.645523071289062 × 32768)
    floor (21152.5)     		tx = 21152
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.145523071289062 × 215)
    floor (0.145523071289062 × 32768)
    floor (4768.5)     		ty = 4768
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 21152 / 4768 ti = "15/21152/4768"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/21152/4768.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21152 ÷ 215
    21152 ÷ 32768     		x = 0.6455078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4768 ÷ 215
    4768 ÷ 32768     		y = 0.1455078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6455078125 × 2 - 1) × π
    0.291015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.91425255
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1455078125 × 2 - 1) × π
    0.708984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.22734010394629
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.91425255} λ = 0.91425255}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.22734010394629))-π/2
    2×atan(9.27516227174414)-π/2
    2×1.46339635973844-π/2
    2.92679271947688-1.57079632675     		φ = 1.35599639
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.91425255} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 52.382813°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35599639 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.692870°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21152 KachelY 4768 0.91425255 1.35599639 52.382813 77.692870
    Oben rechts KachelX + 1 21153 KachelY 4768 0.91444430 1.35599639 52.393799 77.692870
    Unten links KachelX 21152 KachelY + 1 4769 0.91425255 1.35595552 52.382813 77.690529
    Unten rechts KachelX + 1 21153 KachelY + 1 4769 0.91444430 1.35595552 52.393799 77.690529
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35599639-1.35595552) × R
    4.08700000000817e-05 × 6371000     		dl = 260.38277000052m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35599639-1.35595552) × R
    4.08700000000817e-05 × 6371000     		dr = 260.38277000052m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.91425255-0.91444430) × cos(1.35599639) × R
    0.000191749999999935 × 0.213151967003705 × 6371000     		do = 260.394809106343m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.91425255-0.91444430) × cos(1.35595552) × R
    0.000191749999999935 × 0.213191897594559 × 6371000     		du = 260.443589883406m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35599639)-sin(1.35595552))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.213151967003705-0.213191897594559)×R²
    abs(0.91444430-0.91425255)×3.99305908541647e-05×R²
    0.000191749999999935×3.99305908541647e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.99305908541647e-05×40589641000000     		ar = 67808.6725350521m²