Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 2116 / 6212
↖ ↑ ↗
← N 39.842286°
W133.505860°		 ← 1 875.98 m → N 39.842286°
W133.483887°		 →
↑
1 876.20 m
↓
↑
1 876.20 m
↓
N 39.825413°
W133.505860°		 ← 1 876.44 m →
3 520 130 m²		 N 39.825413°
W133.483887°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2116 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6212 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.129180908203125 y=0.379180908203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.129180908203125 × 214)
    floor (0.129180908203125 × 16384)
    floor (2116.5)     		tx = 2116
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.379180908203125 × 214)
    floor (0.379180908203125 × 16384)
    floor (6212.5)     		ty = 6212
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 2116 / 6212 ti = "14/2116/6212"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/2116/6212.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2116 ÷ 214
    2116 ÷ 16384     		x = 0.129150390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6212 ÷ 214
    6212 ÷ 16384     		y = 0.379150390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.129150390625 × 2 - 1) × π
    -0.74169921875 × 3.1415926535     		Λ = -2.33011682
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.379150390625 × 2 - 1) × π
    0.24169921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.759320489981689
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.33011682} λ = -2.33011682}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.759320489981689))-π/2
    2×atan(2.13682373392855)-π/2
    2×1.13308769968076-π/2
    2.26617539936151-1.57079632675     		φ = 0.69537907
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.33011682} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.505860°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.69537907 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.842286°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2116 KachelY 6212 -2.33011682 0.69537907 -133.505860 39.842286
    Oben rechts KachelX + 1 2117 KachelY 6212 -2.32973332 0.69537907 -133.483887 39.842286
    Unten links KachelX 2116 KachelY + 1 6213 -2.33011682 0.69508458 -133.505860 39.825413
    Unten rechts KachelX + 1 2117 KachelY + 1 6213 -2.32973332 0.69508458 -133.483887 39.825413
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.69537907-0.69508458) × R
    0.000294490000000036 × 6371000     		dl = 1876.19579000023m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.69537907-0.69508458) × R
    0.000294490000000036 × 6371000     		dr = 1876.19579000023m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.33011682--2.32973332) × cos(0.69537907) × R
    0.000383500000000314 × 0.76781089570694 × 6371000     		do = 1875.97585354805m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.33011682--2.32973332) × cos(0.69508458) × R
    0.000383500000000314 × 0.767999535244415 × 6371000     		du = 1876.43675247421m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.69537907)-sin(0.69508458))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.76781089570694-0.767999535244415)×R²
    abs(-2.32973332--2.33011682)×0.000188639537474833×R²
    0.000383500000000314×0.000188639537474833×6371000²
    0.000383500000000314×0.000188639537474833×40589641000000     		ar = 3520130.39232084m²