Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2120 / 2248
↖ ↑ ↗
← S 17.308688°
E  6.328125°		 ← 9 330.42 m → S 17.308688°
E  6.416016°		 →
↑
9 328.29 m
↓
↑
9 328.29 m
↓
S 17.392579°
E  6.328125°		 ← 9 326.16 m →
87 017 017 m²		 S 17.392579°
E  6.416016°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2120 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2248 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5177001953125 y=0.5489501953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5177001953125 × 212)
    floor (0.5177001953125 × 4096)
    floor (2120.5)     		tx = 2120
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.5489501953125 × 212)
    floor (0.5489501953125 × 4096)
    floor (2248.5)     		ty = 2248
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2120 / 2248 ti = "12/2120/2248"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2120/2248.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2120 ÷ 212
    2120 ÷ 4096     		x = 0.517578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2248 ÷ 212
    2248 ÷ 4096     		y = 0.548828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.517578125 × 2 - 1) × π
    0.03515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.11044662
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.548828125 × 2 - 1) × π
    -0.09765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.306796157568359
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11044662} λ = 0.11044662}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.306796157568359))-π/2
    2×atan(0.735800572999399)-π/2
    2×0.634351366989536-π/2
    1.26870273397907-1.57079632675     		φ = -0.30209359
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11044662} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.328125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.30209359 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -17.308688°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2120 KachelY 2248 0.11044662 -0.30209359 6.328125 -17.308688
    Oben rechts KachelX + 1 2121 KachelY 2248 0.11198060 -0.30209359 6.416016 -17.308688
    Unten links KachelX 2120 KachelY + 1 2249 0.11044662 -0.30355777 6.328125 -17.392579
    Unten rechts KachelX + 1 2121 KachelY + 1 2249 0.11198060 -0.30355777 6.416016 -17.392579
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.30209359--0.30355777) × R
    0.00146417999999998 × 6371000     		dl = 9328.29077999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.30209359--0.30355777) × R
    0.00146417999999998 × 6371000     		dr = 9328.29077999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11044662-0.11198060) × cos(-0.30209359) × R
    0.00153398 × 0.954715697752077 × 6371000     		do = 9330.42370184641m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11044662-0.11198060) × cos(-0.30355777) × R
    0.00153398 × 0.954279052229955 × 6371000     		du = 9326.1563710185m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.30209359)-sin(-0.30355777))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.954715697752077-0.954279052229955)×R²
    abs(0.11198060-0.11044662)×0.000436645522122192×R²
    0.00153398×0.000436645522122192×6371000²
    0.00153398×0.000436645522122192×40589641000000     		ar = 87017017.4857778m²