Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 21249 / 4863
↖ ↑ ↗
← N 77.468412°
E 53.448487°		 ← 265.05 m → N 77.468412°
E 53.459472°		 →
↑
265.03 m
↓
↑
265.03 m
↓
N 77.466029°
E 53.448487°		 ← 265.10 m →
70 255 m²		 N 77.466029°
E 53.459472°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21249 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4863 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.648483276367188 y=0.148422241210938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.648483276367188 × 215)
    floor (0.648483276367188 × 32768)
    floor (21249.5)     		tx = 21249
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.148422241210938 × 215)
    floor (0.148422241210938 × 32768)
    floor (4863.5)     		ty = 4863
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 21249 / 4863 ti = "15/21249/4863"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/21249/4863.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21249 ÷ 215
    21249 ÷ 32768     		x = 0.648468017578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4863 ÷ 215
    4863 ÷ 32768     		y = 0.148406982421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.648468017578125 × 2 - 1) × π
    0.29693603515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.93285207
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.148406982421875 × 2 - 1) × π
    0.70318603515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.20912408209067
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.93285207} λ = 0.93285207}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.20912408209067))-π/2
    2×atan(9.10773526970996)-π/2
    2×1.46143759550803-π/2
    2.92287519101606-1.57079632675     		φ = 1.35207886
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.93285207} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 53.448487°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35207886 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.468412°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21249 KachelY 4863 0.93285207 1.35207886 53.448487 77.468412
    Oben rechts KachelX + 1 21250 KachelY 4863 0.93304381 1.35207886 53.459472 77.468412
    Unten links KachelX 21249 KachelY + 1 4864 0.93285207 1.35203726 53.448487 77.466029
    Unten rechts KachelX + 1 21250 KachelY + 1 4864 0.93304381 1.35203726 53.459472 77.466029
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35207886-1.35203726) × R
    4.1600000000086e-05 × 6371000     		dl = 265.033600000548m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35207886-1.35203726) × R
    4.1600000000086e-05 × 6371000     		dr = 265.033600000548m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.93285207-0.93304381) × cos(1.35207886) × R
    0.000191739999999996 × 0.216977823058464 × 6371000     		do = 265.054801370662m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.93285207-0.93304381) × cos(1.35203726) × R
    0.000191739999999996 × 0.217018431814494 × 6371000     		du = 265.104408033738m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35207886)-sin(1.35203726))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.216977823058464-0.217018431814494)×R²
    abs(0.93304381-0.93285207)×4.06087560299584e-05×R²
    0.000191739999999996×4.06087560299584e-05×6371000²
    0.000191739999999996×4.06087560299584e-05×40589641000000     		ar = 70255.0019313394m²