Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 21252 / 4868
↖ ↑ ↗
← N 77.456488°
E 53.481445°		 ← 265.32 m → N 77.456488°
E 53.492432°		 →
↑
265.35 m
↓
↑
265.35 m
↓
N 77.454101°
E 53.481445°		 ← 265.37 m →
70 409 m²		 N 77.454101°
E 53.492432°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21252 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4868 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.648574829101562 y=0.148574829101562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.648574829101562 × 215)
    floor (0.648574829101562 × 32768)
    floor (21252.5)     		tx = 21252
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.148574829101562 × 215)
    floor (0.148574829101562 × 32768)
    floor (4868.5)     		ty = 4868
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 21252 / 4868 ti = "15/21252/4868"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/21252/4868.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21252 ÷ 215
    21252 ÷ 32768     		x = 0.6485595703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4868 ÷ 215
    4868 ÷ 32768     		y = 0.1485595703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6485595703125 × 2 - 1) × π
    0.297119140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.93342731
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1485595703125 × 2 - 1) × π
    0.702880859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.20816534409827
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.93342731} λ = 0.93342731}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.20816534409827))-π/2
    2×atan(9.09900752236217)-π/2
    2×1.46133353438184-π/2
    2.92266706876367-1.57079632675     		φ = 1.35187074
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.93342731} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 53.481445°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35187074 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.456488°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21252 KachelY 4868 0.93342731 1.35187074 53.481445 77.456488
    Oben rechts KachelX + 1 21253 KachelY 4868 0.93361906 1.35187074 53.492432 77.456488
    Unten links KachelX 21252 KachelY + 1 4869 0.93342731 1.35182909 53.481445 77.454101
    Unten rechts KachelX + 1 21253 KachelY + 1 4869 0.93361906 1.35182909 53.492432 77.454101
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35187074-1.35182909) × R
    4.16500000000042e-05 × 6371000     		dl = 265.352150000027m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35187074-1.35182909) × R
    4.16500000000042e-05 × 6371000     		dr = 265.352150000027m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.93342731-0.93361906) × cos(1.35187074) × R
    0.000191749999999935 × 0.217180980218041 × 6371000     		do = 265.316809787742m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.93342731-0.93361906) × cos(1.35182909) × R
    0.000191749999999935 × 0.217221635900582 × 6371000     		du = 265.36647636527m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35187074)-sin(1.35182909))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.217180980218041-0.217221635900582)×R²
    abs(0.93361906-0.93342731)×4.06556825414683e-05×R²
    0.000191749999999935×4.06556825414683e-05×6371000²
    0.000191749999999935×4.06556825414683e-05×40589641000000     		ar = 70408.9754849443m²