Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 21312 / 4928
↖ ↑ ↗
← N 77.312520°
E 54.140625°		 ← 268.30 m → N 77.312520°
E 54.151611°		 →
↑
268.35 m
↓
↑
268.35 m
↓
N 77.310107°
E 54.140625°		 ← 268.35 m →
72 004 m²		 N 77.310107°
E 54.151611°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21312 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4928 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.650405883789062 y=0.150405883789062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.650405883789062 × 215)
    floor (0.650405883789062 × 32768)
    floor (21312.5)     		tx = 21312
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.150405883789062 × 215)
    floor (0.150405883789062 × 32768)
    floor (4928.5)     		ty = 4928
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 21312 / 4928 ti = "15/21312/4928"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/21312/4928.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21312 ÷ 215
    21312 ÷ 32768     		x = 0.650390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4928 ÷ 215
    4928 ÷ 32768     		y = 0.150390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.650390625 × 2 - 1) × π
    0.30078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.94493217
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.150390625 × 2 - 1) × π
    0.69921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.19666048818945
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.94493217} λ = 0.94493217}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.19666048818945))-π/2
    2×atan(8.99492462929445)-π/2
    2×1.4600771763585-π/2
    2.92015435271701-1.57079632675     		φ = 1.34935803
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.94493217} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 54.140625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34935803 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.312520°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21312 KachelY 4928 0.94493217 1.34935803 54.140625 77.312520
    Oben rechts KachelX + 1 21313 KachelY 4928 0.94512391 1.34935803 54.151611 77.312520
    Unten links KachelX 21312 KachelY + 1 4929 0.94493217 1.34931591 54.140625 77.310107
    Unten rechts KachelX + 1 21313 KachelY + 1 4929 0.94512391 1.34931591 54.151611 77.310107
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34935803-1.34931591) × R
    4.21200000000344e-05 × 6371000     		dl = 268.346520000219m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34935803-1.34931591) × R
    4.21200000000344e-05 × 6371000     		dr = 268.346520000219m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.94493217-0.94512391) × cos(1.34935803) × R
    0.000191739999999996 × 0.219633027044924 × 6371000     		do = 268.298333614232m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.94493217-0.94512391) × cos(1.34931591) × R
    0.000191739999999996 × 0.219674118387559 × 6371000     		du = 268.3485297933m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34935803)-sin(1.34931591))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.219633027044924-0.219674118387559)×R²
    abs(0.94512391-0.94493217)×4.10913426345805e-05×R²
    0.000191739999999996×4.10913426345805e-05×6371000²
    0.000191739999999996×4.10913426345805e-05×40589641000000     		ar = 72003.6591422248m²