Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 21472 / 5088
↖ ↑ ↗
← N 76.920614°
E 55.898437°		 ← 276.46 m → N 76.920614°
E 55.909424°		 →
↑
276.50 m
↓
↑
276.50 m
↓
N 76.918127°
E 55.898437°		 ← 276.51 m →
76 448 m²		 N 76.918127°
E 55.909424°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21472 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5088 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.655288696289062 y=0.155288696289062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.655288696289062 × 215)
    floor (0.655288696289062 × 32768)
    floor (21472.5)     		tx = 21472
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.155288696289062 × 215)
    floor (0.155288696289062 × 32768)
    floor (5088.5)     		ty = 5088
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 21472 / 5088 ti = "15/21472/5088"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/21472/5088.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21472 ÷ 215
    21472 ÷ 32768     		x = 0.6552734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5088 ÷ 215
    5088 ÷ 32768     		y = 0.1552734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6552734375 × 2 - 1) × π
    0.310546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.97561178
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1552734375 × 2 - 1) × π
    0.689453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.16598087243262
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.97561178} λ = 0.97561178}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.16598087243262))-π/2
    2×atan(8.72315402320972)-π/2
    2×1.45665714766461-π/2
    2.91331429532923-1.57079632675     		φ = 1.34251797
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.97561178} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 55.898437°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34251797 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.920614°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21472 KachelY 5088 0.97561178 1.34251797 55.898437 76.920614
    Oben rechts KachelX + 1 21473 KachelY 5088 0.97580353 1.34251797 55.909424 76.920614
    Unten links KachelX 21472 KachelY + 1 5089 0.97561178 1.34247457 55.898437 76.918127
    Unten rechts KachelX + 1 21473 KachelY + 1 5089 0.97580353 1.34247457 55.909424 76.918127
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34251797-1.34247457) × R
    4.34000000000268e-05 × 6371000     		dl = 276.50140000017m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34251797-1.34247457) × R
    4.34000000000268e-05 × 6371000     		dr = 276.50140000017m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.97561178-0.97580353) × cos(1.34251797) × R
    0.000191749999999935 × 0.226300880361387 × 6371000     		do = 276.458037758931m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.97561178-0.97580353) × cos(1.34247457) × R
    0.000191749999999935 × 0.226343154241482 × 6371000     		du = 276.509681190104m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34251797)-sin(1.34247457))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.226300880361387-0.226343154241482)×R²
    abs(0.97580353-0.97561178)×4.22738800941458e-05×R²
    0.000191749999999935×4.22738800941458e-05×6371000²
    0.000191749999999935×4.22738800941458e-05×40589641000000     		ar = 76448.1742336061m²