Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 21500 / 5116
↖ ↑ ↗
← N 76.850817°
E 56.206054°		 ← 277.91 m → N 76.850817°
E 56.217041°		 →
↑
277.90 m
↓
↑
277.90 m
↓
N 76.848318°
E 56.206054°		 ← 277.96 m →
77 239 m²		 N 76.848318°
E 56.217041°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21500 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5116 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.656143188476562 y=0.156143188476562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.656143188476562 × 215)
    floor (0.656143188476562 × 32768)
    floor (21500.5)     		tx = 21500
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.156143188476562 × 215)
    floor (0.156143188476562 × 32768)
    floor (5116.5)     		ty = 5116
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 21500 / 5116 ti = "15/21500/5116"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/21500/5116.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21500 ÷ 215
    21500 ÷ 32768     		x = 0.6561279296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5116 ÷ 215
    5116 ÷ 32768     		y = 0.1561279296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6561279296875 × 2 - 1) × π
    0.312255859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.98098071
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1561279296875 × 2 - 1) × π
    0.687744140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.16061193967517
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.98098071} λ = 0.98098071}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.16061193967517))-π/2
    2×atan(8.67644549549794)-π/2
    2×1.4560480594354-π/2
    2.91209611887079-1.57079632675     		φ = 1.34129979
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.98098071} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 56.206054°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34129979 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.850817°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21500 KachelY 5116 0.98098071 1.34129979 56.206054 76.850817
    Oben rechts KachelX + 1 21501 KachelY 5116 0.98117246 1.34129979 56.217041 76.850817
    Unten links KachelX 21500 KachelY + 1 5117 0.98098071 1.34125617 56.206054 76.848318
    Unten rechts KachelX + 1 21501 KachelY + 1 5117 0.98117246 1.34125617 56.217041 76.848318
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34129979-1.34125617) × R
    4.3620000000022e-05 × 6371000     		dl = 277.90302000014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34129979-1.34125617) × R
    4.3620000000022e-05 × 6371000     		dr = 277.90302000014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.98098071-0.98117246) × cos(1.34129979) × R
    0.000191750000000046 × 0.227487289458643 × 6371000     		do = 277.907401678856m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.98098071-0.98117246) × cos(1.34125617) × R
    0.000191750000000046 × 0.227529765571606 × 6371000     		du = 277.959292165639m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34129979)-sin(1.34125617))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.227487289458643-0.227529765571606)×R²
    abs(0.98117246-0.98098071)×4.24761129624307e-05×R²
    0.000191750000000046×4.24761129624307e-05×6371000²
    0.000191750000000046×4.24761129624307e-05×40589641000000     		ar = 77238.5164803414m²