Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 21503 / 5123
↖ ↑ ↗
← N 76.833311°
E 56.239014°		 ← 278.26 m → N 76.833311°
E 56.250000°		 →
↑
278.29 m
↓
↑
278.29 m
↓
N 76.830808°
E 56.239014°		 ← 278.31 m →
77 442 m²		 N 76.830808°
E 56.250000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21503 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5123 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.656234741210938 y=0.156356811523438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.656234741210938 × 215)
    floor (0.656234741210938 × 32768)
    floor (21503.5)     		tx = 21503
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.156356811523438 × 215)
    floor (0.156356811523438 × 32768)
    floor (5123.5)     		ty = 5123
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 21503 / 5123 ti = "15/21503/5123"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/21503/5123.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21503 ÷ 215
    21503 ÷ 32768     		x = 0.656219482421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5123 ÷ 215
    5123 ÷ 32768     		y = 0.156341552734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.656219482421875 × 2 - 1) × π
    0.31243896484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.98155596
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.156341552734375 × 2 - 1) × π
    0.68731689453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.15926970648581
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.98155596} λ = 0.98155596}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.15926970648581))-π/2
    2×atan(8.66480749459097)-π/2
    2×1.4558952891273-π/2
    2.91179057825459-1.57079632675     		φ = 1.34099425
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.98155596} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 56.239014°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34099425 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.833311°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21503 KachelY 5123 0.98155596 1.34099425 56.239014 76.833311
    Oben rechts KachelX + 1 21504 KachelY 5123 0.98174770 1.34099425 56.250000 76.833311
    Unten links KachelX 21503 KachelY + 1 5124 0.98155596 1.34095057 56.239014 76.830808
    Unten rechts KachelX + 1 21504 KachelY + 1 5124 0.98174770 1.34095057 56.250000 76.830808
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34099425-1.34095057) × R
    4.36800000001014e-05 × 6371000     		dl = 278.285280000646m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34099425-1.34095057) × R
    4.36800000001014e-05 × 6371000     		dr = 278.285280000646m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.98155596-0.98174770) × cos(1.34099425) × R
    0.000191739999999996 × 0.227784807897496 × 6371000     		do = 278.256349711174m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.98155596-0.98174770) × cos(1.34095057) × R
    0.000191739999999996 × 0.227827339398414 × 6371000     		du = 278.308305152375m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34099425)-sin(1.34095057))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.227784807897496-0.227827339398414)×R²
    abs(0.98174770-0.98155596)×4.25315009180416e-05×R²
    0.000191739999999996×4.25315009180416e-05×6371000²
    0.000191739999999996×4.25315009180416e-05×40589641000000     		ar = 77441.8754207842m²