Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 21504 / 5121
↖ ↑ ↗
← N 76.838315°
E 56.250000°		 ← 278.17 m → N 76.838315°
E 56.260986°		 →
↑
278.22 m
↓
↑
278.22 m
↓
N 76.835813°
E 56.250000°		 ← 278.22 m →
77 399 m²		 N 76.835813°
E 56.260986°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21504 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5121 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.656265258789062 y=0.156295776367188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.656265258789062 × 215)
    floor (0.656265258789062 × 32768)
    floor (21504.5)     		tx = 21504
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.156295776367188 × 215)
    floor (0.156295776367188 × 32768)
    floor (5121.5)     		ty = 5121
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 21504 / 5121 ti = "15/21504/5121"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/21504/5121.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21504 ÷ 215
    21504 ÷ 32768     		x = 0.65625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5121 ÷ 215
    5121 ÷ 32768     		y = 0.156280517578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.65625 × 2 - 1) × π
    0.3125 × 3.1415926535     		Λ = 0.98174770
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.156280517578125 × 2 - 1) × π
    0.68743896484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.15965320168277
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.98174770} λ = 0.98174770}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.15965320168277))-π/2
    2×atan(8.6681310438896)-π/2
    2×1.45593895816304-π/2
    2.91187791632607-1.57079632675     		φ = 1.34108159
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.98174770} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 56.250000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34108159 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.838315°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21504 KachelY 5121 0.98174770 1.34108159 56.250000 76.838315
    Oben rechts KachelX + 1 21505 KachelY 5121 0.98193945 1.34108159 56.260986 76.838315
    Unten links KachelX 21504 KachelY + 1 5122 0.98174770 1.34103792 56.250000 76.835813
    Unten rechts KachelX + 1 21505 KachelY + 1 5122 0.98193945 1.34103792 56.260986 76.835813
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34108159-1.34103792) × R
    4.36699999999401e-05 × 6371000     		dl = 278.221569999619m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34108159-1.34103792) × R
    4.36699999999401e-05 × 6371000     		dr = 278.221569999619m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.98174770-0.98193945) × cos(1.34108159) × R
    0.000191750000000046 × 0.227699763066568 × 6371000     		do = 278.166967777887m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.98174770-0.98193945) × cos(1.34103792) × R
    0.000191750000000046 × 0.227742285699192 × 6371000     		du = 278.218915094914m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34108159)-sin(1.34103792))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.227699763066568-0.227742285699192)×R²
    abs(0.98193945-0.98174770)×4.25226326239425e-05×R²
    0.000191750000000046×4.25226326239425e-05×6371000²
    0.000191750000000046×4.25226326239425e-05×40589641000000     		ar = 77399.2769412016m²