Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 21506 / 29698
↖ ↑ ↗
← S 81.096615°
E 56.271973°		 ← 189.07 m → S 81.096615°
E 56.282959°		 →
↑
189.03 m
↓
↑
189.03 m
↓
S 81.098315°
E 56.271973°		 ← 189.04 m →
35 736 m²		 S 81.098315°
E 56.282959°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21506 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29698 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.656326293945312 y=0.906326293945312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.656326293945312 × 215)
    floor (0.656326293945312 × 32768)
    floor (21506.5)     		tx = 21506
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.906326293945312 × 215)
    floor (0.906326293945312 × 32768)
    floor (29698.5)     		ty = 29698
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 21506 / 29698 ti = "15/21506/29698"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/21506/29698.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21506 ÷ 215
    21506 ÷ 32768     		x = 0.65631103515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29698 ÷ 215
    29698 ÷ 32768     		y = 0.90631103515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.65631103515625 × 2 - 1) × π
    0.3126220703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.98213120
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.90631103515625 × 2 - 1) × π
    -0.8126220703125 × 3.1415926535     		Φ = -2.55292752616571
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.98213120} λ = 0.98213120}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.55292752616571))-π/2
    2×atan(0.0778534141505227)-π/2
    2×0.0776966898682844-π/2
    0.155393379736569-1.57079632675     		φ = -1.41540295
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.98213120} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 56.271973°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41540295 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.096615°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21506 KachelY 29698 0.98213120 -1.41540295 56.271973 -81.096615
    Oben rechts KachelX + 1 21507 KachelY 29698 0.98232295 -1.41540295 56.282959 -81.096615
    Unten links KachelX 21506 KachelY + 1 29699 0.98213120 -1.41543262 56.271973 -81.098315
    Unten rechts KachelX + 1 21507 KachelY + 1 29699 0.98232295 -1.41543262 56.282959 -81.098315
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41540295--1.41543262) × R
    2.96699999999817e-05 × 6371000     		dl = 189.027569999883m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41540295--1.41543262) × R
    2.96699999999817e-05 × 6371000     		dr = 189.027569999883m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.98213120-0.98232295) × cos(-1.41540295) × R
    0.000191750000000046 × 0.154768748145619 × 6371000     		do = 189.071577408098m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.98213120-0.98232295) × cos(-1.41543262) × R
    0.000191750000000046 × 0.154739435579497 × 6371000     		du = 189.035768026805m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41540295)-sin(-1.41543262))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.154768748145619-0.154739435579497)×R²
    abs(0.98232295-0.98213120)×2.9312566122125e-05×R²
    0.000191750000000046×2.9312566122125e-05×6371000²
    0.000191750000000046×2.9312566122125e-05×40589641000000     		ar = 35736.3563557038m²