Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 21508 / 29700
↖ ↑ ↗
← S 81.100015°
E 56.293945°		 ← 189 m → S 81.100015°
E 56.304932°		 →
↑
188.96 m
↓
↑
188.96 m
↓
S 81.101715°
E 56.293945°		 ← 188.96 m →
35 711 m²		 S 81.101715°
E 56.304932°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21508 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29700 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.656387329101562 y=0.906387329101562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.656387329101562 × 215)
    floor (0.656387329101562 × 32768)
    floor (21508.5)     		tx = 21508
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.906387329101562 × 215)
    floor (0.906387329101562 × 32768)
    floor (29700.5)     		ty = 29700
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 21508 / 29700 ti = "15/21508/29700"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/21508/29700.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21508 ÷ 215
    21508 ÷ 32768     		x = 0.6563720703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29700 ÷ 215
    29700 ÷ 32768     		y = 0.9063720703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6563720703125 × 2 - 1) × π
    0.312744140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.98251469
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9063720703125 × 2 - 1) × π
    -0.812744140625 × 3.1415926535     		Φ = -2.55331102136267
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.98251469} λ = 0.98251469}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.55331102136267))-π/2
    2×atan(0.0778235634642922)-π/2
    2×0.0776670189530972-π/2
    0.155334037906194-1.57079632675     		φ = -1.41546229
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.98251469} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 56.293945°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41546229 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.100015°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21508 KachelY 29700 0.98251469 -1.41546229 56.293945 -81.100015
    Oben rechts KachelX + 1 21509 KachelY 29700 0.98270644 -1.41546229 56.304932 -81.100015
    Unten links KachelX 21508 KachelY + 1 29701 0.98251469 -1.41549195 56.293945 -81.101715
    Unten rechts KachelX + 1 21509 KachelY + 1 29701 0.98270644 -1.41549195 56.304932 -81.101715
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41546229--1.41549195) × R
    2.96600000000424e-05 × 6371000     		dl = 188.96386000027m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41546229--1.41549195) × R
    2.96600000000424e-05 × 6371000     		dr = 188.96386000027m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.98251469-0.98270644) × cos(-1.41546229) × R
    0.000191749999999935 × 0.154710122877156 × 6371000     		do = 188.999958478993m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.98251469-0.98270644) × cos(-1.41549195) × R
    0.000191749999999935 × 0.154680819918268 × 6371000     		du = 188.964160834274m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41546229)-sin(-1.41549195))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.154710122877156-0.154680819918268)×R²
    abs(0.98270644-0.98251469)×2.93029588884219e-05×R²
    0.000191749999999935×2.93029588884219e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.93029588884219e-05×40589641000000     		ar = 35710.7794662627m²