Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 21508 / 5124
↖ ↑ ↗
← N 76.830808°
E 56.293945°		 ← 278.32 m → N 76.830808°
E 56.304932°		 →
↑
278.35 m
↓
↑
278.35 m
↓
N 76.828305°
E 56.293945°		 ← 278.37 m →
77 478 m²		 N 76.828305°
E 56.304932°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21508 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5124 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.656387329101562 y=0.156387329101562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.656387329101562 × 215)
    floor (0.656387329101562 × 32768)
    floor (21508.5)     		tx = 21508
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.156387329101562 × 215)
    floor (0.156387329101562 × 32768)
    floor (5124.5)     		ty = 5124
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 21508 / 5124 ti = "15/21508/5124"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/21508/5124.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21508 ÷ 215
    21508 ÷ 32768     		x = 0.6563720703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5124 ÷ 215
    5124 ÷ 32768     		y = 0.1563720703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6563720703125 × 2 - 1) × π
    0.312744140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.98251469
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1563720703125 × 2 - 1) × π
    0.687255859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.15907795888733
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.98251469} λ = 0.98251469}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.15907795888733))-π/2
    2×atan(8.66314619784251)-π/2
    2×1.45587344849366-π/2
    2.91174689698732-1.57079632675     		φ = 1.34095057
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.98251469} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 56.293945°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34095057 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.830808°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21508 KachelY 5124 0.98251469 1.34095057 56.293945 76.830808
    Oben rechts KachelX + 1 21509 KachelY 5124 0.98270644 1.34095057 56.304932 76.830808
    Unten links KachelX 21508 KachelY + 1 5125 0.98251469 1.34090688 56.293945 76.828305
    Unten rechts KachelX + 1 21509 KachelY + 1 5125 0.98270644 1.34090688 56.304932 76.828305
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34095057-1.34090688) × R
    4.36900000000406e-05 × 6371000     		dl = 278.348990000259m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34095057-1.34090688) × R
    4.36900000000406e-05 × 6371000     		dr = 278.348990000259m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.98251469-0.98270644) × cos(1.34095057) × R
    0.000191749999999935 × 0.227827339398414 × 6371000     		do = 278.32282003208m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.98251469-0.98270644) × cos(1.34090688) × R
    0.000191749999999935 × 0.227869880201567 × 6371000     		du = 278.374789546937m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34095057)-sin(1.34090688))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.227827339398414-0.227869880201567)×R²
    abs(0.98270644-0.98251469)×4.25408031524688e-05×R²
    0.000191749999999935×4.25408031524688e-05×6371000²
    0.000191749999999935×4.25408031524688e-05×40589641000000     		ar = 77478.1086937353m²