Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 21511 / 5129
↖ ↑ ↗
← N 76.818287°
E 56.326904°		 ← 278.58 m → N 76.818287°
E 56.337891°		 →
↑
278.60 m
↓
↑
278.60 m
↓
N 76.815782°
E 56.326904°		 ← 278.63 m →
77 621 m²		 N 76.815782°
E 56.337891°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21511 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5129 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.656478881835938 y=0.156539916992188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.656478881835938 × 215)
    floor (0.656478881835938 × 32768)
    floor (21511.5)     		tx = 21511
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.156539916992188 × 215)
    floor (0.156539916992188 × 32768)
    floor (5129.5)     		ty = 5129
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 21511 / 5129 ti = "15/21511/5129"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/21511/5129.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21511 ÷ 215
    21511 ÷ 32768     		x = 0.656463623046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5129 ÷ 215
    5129 ÷ 32768     		y = 0.156524658203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.656463623046875 × 2 - 1) × π
    0.31292724609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.98308994
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.156524658203125 × 2 - 1) × π
    0.68695068359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.15811922089493
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.98308994} λ = 0.98308994}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.15811922089493))-π/2
    2×atan(8.65484449066585)-π/2
    2×1.45576418413908-π/2
    2.91152836827815-1.57079632675     		φ = 1.34073204
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.98308994} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 56.326904°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34073204 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.818287°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21511 KachelY 5129 0.98308994 1.34073204 56.326904 76.818287
    Oben rechts KachelX + 1 21512 KachelY 5129 0.98328169 1.34073204 56.337891 76.818287
    Unten links KachelX 21511 KachelY + 1 5130 0.98308994 1.34068831 56.326904 76.815782
    Unten rechts KachelX + 1 21512 KachelY + 1 5130 0.98328169 1.34068831 56.337891 76.815782
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34073204-1.34068831) × R
    4.37300000000196e-05 × 6371000     		dl = 278.603830000125m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34073204-1.34068831) × R
    4.37300000000196e-05 × 6371000     		dr = 278.603830000125m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.98308994-0.98328169) × cos(1.34073204) × R
    0.000191749999999935 × 0.228040116955887 × 6371000     		do = 278.582757447808m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.98308994-0.98328169) × cos(1.34068831) × R
    0.000191749999999935 × 0.228082694528292 × 6371000     		du = 278.634771881428m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34073204)-sin(1.34068831))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.228040116955887-0.228082694528292)×R²
    abs(0.98328169-0.98308994)×4.25775724055832e-05×R²
    0.000191749999999935×4.25775724055832e-05×6371000²
    0.000191749999999935×4.25775724055832e-05×40589641000000     		ar = 77621.4689189527m²